Question

una catedral esta situada en una colina, cuando la cima de la torre se ve desde la base de la colina, el ángulo de elevacion es 48°, cuando se ve una distancia de 200 pies de la base de la colina, el ángulo de elevación es 41°. la colina sube a un ángulo de 32°. calcule la altura de la catedral

Answer 1

La altura de la catedral es de 349.94 pies

Se trata de un problema trigonométrico que contendrá a tres triángulos, por tanto

Trabajaremos primero en el triángulo oblicuángulo ABC

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno - también llamado como ley de senos-

En el primer triángulo ABC donde el lado BC representa la visual desde la base de la colina hasta la torre de la catedral con un ángulo de elevación de 48°, luego al alejarse de la base de la colina 200 pies que es el lado AB, se observa la cima de la torre con un ángulo de 41° conformado por el lado AC

Donde el lado BC desde la base de la colina hasta la cima de la torre es al mismo tiempo una distancia

Hallamos la distancia desde la base de la colina hasta la cima de la torre

Determinamos los valores de los dos ángulos restantes del triángulo oblicuángulo ABC

Donde dado que conocemos un ángulo de elevación de 41° desde A hasta C, hallamos para el triángulo oblicuángulo el ángulo en B

Dado que el ángulo de elevación de 48° conforma con el ángulo buscado un ángulo llano de 180° dado que son suplementarios

$\boxed {\bold { B = 180^o - 48 ^o}}$

$\large\boxed {\bold { B= 132^o}}$

Hallamos el valor del tercer ángulo C del triángulo oblicuángulo ABC

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

$\boxed {\bold { 180^o = 41^o+ 132^o+ \ C}}$

$\boxed {\bold {C= 180^o - 41^o- 132^o }}$

$\large\boxed {\bold {C= 7 ^o }}$

Hallamos la distancia entre B y C que es la distancia desde la base de la colina hasta la cima de la torre

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(41 ^o ) } = \frac{ 200 \ ft }{sen(7^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 200 \ ft \ . \ sen(41^o ) }{sen(7^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 200\ ft \ . \ 0.656059028991}{ 0.121869343405 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 131.2118057982 }{0.121869343405 }\ ft}}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 1.076.66 \ ft }}$

La distancia desde la base de la colina hasta la cima de la torre es de 1076.66 pies

Si observamos la figura que se adjunta vemos que se forma otro triángulo BCE el cual es rectángulo. Donde la hipotenusa BC es la distancia desde la base de la colina hasta la cima de la torre -la cual hallamos en el paso anterior- y sus dos catetos BE y CD son respectivamente la base donde se asienta la colina y la altura de esta más la altura de la catedral la cual es nuestra incógnita.

Donde este triángulo rectángulo contiene a un triángulo obtusángulo BCD con el cual resolveremos el problema

En el cual el lado BC es el mismo para ambos -distancia desde la base de la colina hasta la cima de la catedral- el lado AD es la distancia desde la base de la colina hasta la base de la catedral y el lado CD es la altura de la catedral y nuestra incógnita.

Hallamos los valores de los ángulos interiores para el triángulo BDC

Mediante el triángulo rectángulo BCE conocemos el valor del ángulo en B el cual es el ángulo de elevación de 48° y el ángulo en E que es de 90°

Determinamos entonces el valor del tercer ángulo en C (γ)

El cual es es el mismo para el triángulo oblicuángulo BCD

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

$\boxed {\bold { 180^o = 48^o+ 90^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 48^o- 90^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 42 ^o }}$

Hallamos el ángulo en B para el triángulo oblicuángulo (β)

Obtenemos la medida de este ángulo por la diferencia del ángulo de elevación de 48° y el ángulo con el que sube la colina de 32°

$\boxed {\bold {\beta = 48^o- 32^o }}$

$\boxed {\bold {\beta = 16^o }}$

Hallamos el valor del tercer ángulo del triángulo oblicuángulo ubicado en D (α)

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

$\boxed {\bold { 180^o = 42^o+ 16^o + \ \alpha } }$

$\boxed {\bold { \alpha = 180^o - 42^o- 16^o }}$

$\large\boxed { \bold { \alpha = 122^o}}$

Calculamos la altura de la catedral empleando el teorema del seno (lado CD = b)

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\bold{b = h}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(D ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{1076.66 \ ft}{ sen(122 ^o ) } = \frac{ b }{sen(16^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 1076.66 \ ft \ . \ sen(16^o ) }{sen(122^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 1076.66\ ft \ . \ 0.275637355817}{ 0.848048096156 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 296.76771551393122 }{0.848048096156 }\ ft}}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 349.94 \ ft }}$

La altura de la catedral es de 349.94 pies

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los tres triángulos, sus ángulos y sus lados planteadas