Question

Una carrucha contiene una cuerda de cobre de 20,0 m y una masa de 0,141 kg. De
dicha carrucha se corta un segmento de cobre de 1,0 m de largo y el mismo se fija
de sus dos extremos. La tensión que actúa sobre dicho segmento es de 200 N y el
mismo se pone a oscilar de manera tal que se generan ondas estacionarias las cuales
tienen una frecuencia de oscilación de 421 Hz. A partir de la información anterior,
determine:
a) La velocidad de propagación de las ondas viajeras que compone la onda estacionaria.
b) La distancia de separación entre nodos adyacentes.
c) ¿Cuántos nodos hay en la cuerda?
d) La función de posición de la onda estacionaria, si la amplitud de las ondas viajeras que la
componen es de 0.75 cm.
e) Dibuje el patrón de las ondas estacionarias observado.
Lo

Answer 1

La velocidad de propagación de las ondas viajeras que componen la onda estacionaria es 168.4 m/s.  La separación entre nodos adyacentes es de 0.2 m. La ecuación posición de la onda en cm es es : y(x,t) = 1.5 sin(5πx)sin(842πt).  El patrón de ondas observado se adjunta en la figura.

¡Hola! Se trata de un problema de ondas estacionarias. Vamos a extraer los datos:

Datos:

• L = 20 m - Longitud de la cuerda de cobre antes de ser cortada
• Lc = 1 m  - Longitud del segmento de cuerda
• m = 0.141 kg - Masa de la cuerda completa
• T = 200 N   - Tensión en la cuerda
• f = 421  Hz  - Frecuencia de la onda estacionaria.

a) La velocidad de propagación de una onda en una cuerda está dada por:

$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}} \textbf{\quad donde\quad \mu=\dfrac{m}{L} }$  

Por tanto, reemplazando μ y evaluando:

$v=\sqrt{\dfrac{TL}{m}} =\sqrt{\dfrac{(200\;N)(20\;m)}{0.141\;kg}} =168.4\;m/s$

R/ La velocidad de propagación de las ondas viajeras que componen la onda estacionaria es 168.4 m/s.

b) La longitud de onda se calcula como:

$\lambda = \dfrac{v}{f}=\dfrac{168.4\;m/s}{412\;Hz}=0.4\;m$

La separación entre nodos adyacentes es λ/2 por tanto:

$\dfrac{\lambda}{2}=\dfrac{0.4\;m}{2}=0.2\;m$

R/ La separación entre nodos adyacentes es de 0.2 m.

c) La cantidad de nodos es:

$\dfrac{L_c}{\lambda}+1=\dfrac{1\;m}{0.2\;m}+1 = 6$

R/ Hay 6 nodos en la cuerda.

d) La ecuación de posición de una onda estacionaria tiene la forma:

$y(x,t) = 2A\sin(kx)\sin(\omega t)$

Sabemos  que:

2A = 2*0.75 cm = 1.5 cm

ω = 2πf = 2π(421) = 842π rad/s

k = 2π/λ = 2π/0.4 = 5π m⁻¹

Por tanto, reemplazamos:

$y(x,t) = 1.5\sin(5\pi x)\sin(842\pi t)$

R/ La ecuación de posición de la onda en cm es : y(x,t) = 1.5 sin(5πx)sin(842πt)

e)

R/ El patrón de ondas observado se adjunta en la figura

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