Question

Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 500 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.

Answer 1

Sea x la base de la caja, y su altura.

La superficie total de la caja es la superficie de la base más la de los 4 lados laterales.

S = x² + 4 x y

Por otro lado es x² y = 500 es el volumen.

Expresamos S en función de una sola variable. y = 500 / x²

S = x² + 2000 / x

Una función es mínima en los puntos en que se anule su primera derivada y la segunda derivada positiva en los puntos críticos.

Derivamos S' = 2 x - 2000 / x²

S'' = 2 + 4000 / x³; es positiva para toda x positiva

S' = 0 = 2 x - 2000 / x²

1000 / x² = x; x³ = 1000; por lo tanto x = 10 cm

y = 500 / x² =  500 / 10² = 5 cm

Respuesta: lado de la base = 10 cm; altura = 5 cm

Superficie mínima: S = 100 + 2000 / 10 = 300 cm²

Adjunto dibujo de S donde se aprecia el punto (10, 300)

Mateo