Una bola de billar de 0.30 kg con una rapidez de 2.0 m/s en la dirección x positiva choca elásticamente de frente con una bola de billar estacionaria de 0.70 kg. ¿Cuáles son las velocidades de las bolas después del choque?
Respuestas a la pregunta
En el choque elástico unidimensional, presenta la velocidad 1 -8m/s y velocidad 2 de 12m/s
El procedimiento es el siguiente:
1.) Hay conservación del momento lineal
2.) Hay conservación de la energía cinética.
Supongamos una colisión frontal perfectamente elástica entre dos cuerpos m1 y m2 que viajan en una misma linea recta u1 y u2.
Como se conserva el momento lineal entonces: (¬ este simbolo lo usare para denotar la flechita del vector -.-| )
∑p¬ =constante
m1u¬1 +m2u¬2=m1v¬1+m2v¬2 (ecuación 1)
Se reescribe de la siguiente forma
m1(u1-v1)=m2(v2-u2) (ecuación 2)
donde u1 y u2 son las velocidades antes de choque y v1 y v2 después del choque.
Como se se conserva la energía cinética (K):
∑Ki=contante
Entonces:
\frac{1}{2}m_{1}u_{1} ^{2} + \frac{1}{2}m_{2}u_{2} ^{2 } = \frac{1}{2}m_{1}v_{1} ^{2 } + \frac{1}{2}m_{2}v_{2} ^{2 }
la anterior la llamaremos ecuación 3
Se reescribe de la siguiente forma:
m1(u_{1} ^{2 }-v_{1} ^{2 }) = m2(v_{2} ^{2 }-u_{2} ^{2 }) (ecuación 4)
Si se divide la ecuación 4 entre la ecuación 2
(v2-v1)=-(u2-u1) (ecuación 5)
Ya tenemos una relación importante la es al combinar las ecuaciones 2 y 5
v1=\frac{m1-m2}{m1+m2}*u1 + \frac{2m2}{m1+m2}*u2
(ecuación 6)
v2=frac{2m1}{m1+m2}*u1 + \frac{m2-m1}{m1+m2}*u2 (ecuación 7)
Para responder a la pregunta haremos
la masa de la bola 1=m1=0.30 kg
la masa de la bola 2=m2=0.70 kg
la velocidad inicia de la bola 1=u1= 20 m/s
la velocidad inicia de la bola 2=u2= 0 m/s (reposo o estacionado)
Se buscan las velocidades finales para la bola 1 (v1) y la bola 2 (v2), de esta forma:
Se utiliza la ecuación 6 para halla v1, sabemos que u2=0, entonces
v1=\frac{0.30kg-0.70kg}{0.30kg+0.70kg}*20m/s= -8m/s
Recuerda que las velocidades son vectores el signo negativo significa que al momento del choque transfiere energía y se devuelve por donde vino con menor velocidad.
Para hallar v2 usamos la ecuación 5
v2=-u2+ui+v1=-0m/s+20m/s-8m/s=12m/s
y listo hacia se resuelve tu ejercicio.
La bola de billar de 0.30 kg tendrá una velocidad de 1.0 m/s en la dirección x positiva, y la bola de billar de 0.70 kg tendrá una velocidad de 1.0 m/s en la dirección x negativa.
Explicación del cálculo paso a paso
Tenemos las siguientes variables:
- m1 = 0.30 kg
- m2 = 0.70 kg
- v1 = 2.0 m/s
- v2 = 0 m/s
Como se trata de un choque elástico, la energía cinética se conserva.
Energía cinética antes del choque
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2 = 1/2(0.3)(2.0)^2 + 1/2(0.7)(0)^2 = 1.6 J
Energía cinética después del choque
1/2m1v1'^2 + 1/2m2v2'^2 = 1/2(0.3)(v1')^2 + 1/2(0.7)(v2')^2 = 1.6 J
Como la energía cinética se conserva, y sabemos la energía cinética antes y después del choque, podemos reescribir la ecuación de conservación de energía de la siguiente manera:
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2 = 1/2m1v1'^2 + 1/2m2v2'^2
Podemos despejar v1' y v2' de la ecuación:
v1' = sqrt(v1^2 - 2(v2' - v1)(m1/m2))
v2' = sqrt(v2^2 + 2(v1 - v2')(m2/m1))
Como v1 = 2.0 m/s y v2 = 0 m/s, podemos reescribir la ecuación de v1' de la siguiente manera:
v1' = sqrt(v1^2 - 2(v2' - v1)(m1/m2))
v1' = sqrt(2.0^2 - 2(v2' - 2.0)(0.3/0.7))
v1' = sqrt(4.0 - 2(v2' - 2.0)(0.43))
Como la energía cinética se conserva, y sabemos la energía cinética antes y después del choque, podemos reescribir la ecuación de conservación de energía de la siguiente manera:
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2 = 1/2m1v1'^2 + 1/2m2v2'^2
Como v1 = 2.0 m/s, podemos reescribir la ecuación de manera que solo tenga términos en v2':
1.6 = 1/2(0.3)(v1')^2 + 1/2(0.7)(v2')^2
1.6 = 0.045(v1')^2 + 0.245(v2')^2
Como sabemos la velocidad de v1', podemos reescribir la ecuación de manera que solo tenga términos en v2':
1.6 = 0.045(v1')^2 + 0.245(v2')^2
1.6 = 0.045(sqrt(4.0 - 2(v2' - 2.0)(0.43)))^2 + 0.245(v2')^2
Despejamos v2' de la ecuación:
v2' = (1.6 - 0.045(sqrt(4.0 - 2(v2' - 2.0)(0.43)))^2) / 0.245
Resolvemos la ecuación de segundo grado para encontrar la velocidad de v2' después del choque:
v2' = 1.0 m/s
Como sabemos la velocidad de v2', podemos reescribir la ecuación de v1' de la siguiente manera:
v1' = sqrt(v1^2 - 2(v2' - v1)(m1/m2))
v1' = sqrt(2.0^2 - 2(1.0 - 2.0)(0.3/0.7))
v1' = sqrt(4.0 - 2(1.0 - 2.0)(0.43))
v1' = 1.0 m/s
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