Question

Una barra de 12 m de longitud está a 10°C sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del hierro es de 11.10-6/°C calcular la dilatación final a 40°C

Answer 1

DILATACIÓN LINEAL

Cuando aumenta la temperatura de un cuerpo, este se dilata, es decir, aumenta de tamaño. Esto ocurre porque los átomos se separan unos de otros al elevarse la temperatura, lo que hace que el objeto aumente un poco su longitud.

Cuando la temperatura regresa a la inicial, el cuerpo dilatado también regresa a su longitud inicial.

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La fórmula para hallar la longitud final de un objeto por dilatación es la siguiente:

$\purple{\Large{\boxed{\mathsf{L_{F} = L_{0}(1 + \alpha \Delta T)}}}}$

Donde:

• $\mathsf{L_{F}}$ es la longitud final
• $\mathsf{L_{0}}$ es la longitud inicial
• $\alpha$ es el coeficiente de dilatación lineal del material
• $\Delta T$ es la diferencia de temperaturas

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Consideremos que:

• La diferencia de temperaturas ($\mathsf{\Delta T}$) se halla restando la temperatura final ($\mathsf{T_{F}}$) menos la temperatura inicial ($\mathsf{T_{0}}$).

        $\mathsf{\Delta T = T_{F} - T_{0}}$

• El coeficiente de dilatación lineal varía de acuerdo al material.

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Ejercicio

Reconozcamos los datos de este ejercicio:

• Longitud inicial (L₀): 12 m
• Coeficiente de dilatación lineal del hierro: 11 · 10⁻⁶ 1/°C
• Temperatura inicial (T₀): 10°C
• Temperatura final ($\mathsf{T_{F}}$): 40°C

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Primero, veamos que en el coeficiente de dilatación tenemos 1/°C. Nosotros lo vamos a expresar como °C⁻¹, ya que es equivalente.

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Ahora, hallamos la diferencia de temperaturas:

$\mathsf{\Delta T = T_{F} - T_{0}}$

$\mathsf{\Delta T = 40^{\circ}C - 10^{\circ}C}$

$\boxed{\mathsf{\Delta T = 30^{\circ}C}}$

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Reemplazamos en la fórmula:

 $\mathsf{L_{F} = L_{0}(1 + \alpha \Delta T)}$

 $\mathsf{L_{F} = 12\ m(1 + 11 \cdot 10^{-6}\ ^{\circ}C^{-1} \cdot 30^{\circ}C)}$

$\small{\textsf{Como est\'{a} multiplicando Celsius a la menos uno con Celsius, al sumar sus exponentes,}}\\\small{\textsf{resulta Celsius elevado a 0, lo cual es igual a 1. Recordemos que al multiplicar cualquier}}\\\small{\textsf{n\'{u}mero por 1 es igual al mismo n\'{u}mero, as\'{i} que podemos omitirlo.}}$

 $\mathsf{L_{F} = 12\ m(1 + \underline{11} \cdot 10^{-6}\cdot \underline{30})}$

 $\mathsf{L_{F} = 12\ m(1 + \underline{330} \cdot 10^{-6})}$

 $\mathsf{L_{F} = 12\ m(1 + 330 \cdot 0,000001)}$

 $\mathsf{L_{F} = 12\ m(1 + 0,00033)}$

 $\mathsf{L_{F} = 12\ m(1,00033)}$

$\red{\boxed{\mathsf{L_{F} = 12,00396\ m}}}$

La longitud final de la barra será de 12,00396 metros.

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Ahora, si queremos hallar solo la longitud dilatada, ¡restamos la longitud final menos la inicial!

$\mathsf{12,00396\ m - 12\ m} = \mathbf{0,00396\ m}$

La longitud dilatada es de 0,00396 metros.

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