Question

Una bala de canon es disparada a una velocidad de 60m/s de manera que forma 60 grados con la horizontal. Calcula:

a. Atura máxima
b. Tiempo total que permanece en le aire.
c. Distancia que recorrió al caer.

Answer 1

a) La altura máxima que alcanza la bala es de 137.76 metros

b) El tiempo de permanencia en el aire de la bala es de 10.6 segundos

c) El alcance horizontal de la bala es de 318.13 metros, siendo esta magnitud la distancia que recorre desde el lanzamiento hasta su contacto con el suelo

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

a) Altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {9.8\ \frac{m}{s^{2} } }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(60 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{3600\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{19.6\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{3600\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{3600 \ . \ \frac{3}{4} }{ 19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{10800}{4} }{ 19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{2700 }{19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =137.755102 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 137.76\ metros }}$

La altura máxima que alcanza la bala es de 137.76 metros

b) Tiempo de permanencia en el aire o de vuelo de la bala

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (60 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{120\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 60\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{\not2} }{9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 60\sqrt{3} }{9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{103.9230485 }{9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =10.6043 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =10.6 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo de la bala es de 10.6 segundos

c) Alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (60 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 60 ^o) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{3600\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (120 ^o) }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{3600 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 1800\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 1800\ \ . \ \sqrt{3} }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1800\ \sqrt{3} }{9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 3117.691454 }{9.8} \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =318.131781\ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =318.13 \ metros }}$

El alcance horizontal de la bala es de 318.13 metros, siendo esta magnitud la distancia que recorre desde el lanzamiento hasta su contacto con el suelo