Una avioneta de las naciones unidas (ONU) vuela siguiendo una trayectoria horizontal a 2000 m de altura con una velocidad constante de 800 km/h. Pretende dejar caer un paquete de ayuda humanitaria a una aldea de refugiados en el Norte de África, para ello suelta el paquete cuando se encuentra a una distancia en horizontal del objetivo de 5000 m.
Determinar:
a) ¿A qué distancia del objetivo cae el paquete?
b) ¿Cuánto tarda el paquete en llegar al suelo?
c) ¿Con que velocidad llega el paquete al piso?
Respuestas a la pregunta
Origen de coordenadas al pie del punto de lanzamiento.
800 km/h = 222 m/s
La posición del paquete es:
x = 222 m/s . t
y = 2000 m - 1/2 . 9,8 m/s² . t²
Para responder a) es necesario responder b)
b) El tiempo de vuelo: corresponde con y = 0
t = √(2 . 2000 m / 9,8 m/s²) = 20,2 s
a) Para ese instante:
x = 222 m/s . 20,2 s = 4484 m
Cae una distancia de 500 - 4484 = 516 m antes del refugio
c) La velocidad tiene dos componentes:
Vx = 222 m/s = constante.
Vy = - g t = - 9,8 m/s² . 20,2 s = - 198 m/s
Su módulo:
|V| = √(222² + 198²) = 297 m/s
Saludos
El movimiento que desarrolla el paquete es semiparabólico, recordamos que este movimiento está compuesto por MRU en el eje horizontal y MRUA en el eje vertical.
Tomamos como origen al pie del punto donde el paquete cae. Entonces las posiciones de este son :
y = y₀ + Voy . t - 1/2gt² ....(*)
x = Vx . t .......(**)
b) ¿Cuánto tarda el paquete en llegar al suelo?
- Tomamos en cuenta el eje vertical del movimiento, tenemos que el paquete está inicialmente a una altura de h₀ = 2.000m, además, la componente vertical es nula en ese instante (Voy = 0 ), entonces para el tiempo debemos saber que este llegará al suelo cuando h = 0. Reemplaza datos en (*) :
0 = 2.000m - 1/2 . 9,8m/s². t²
t = √[ 2.000m / 4,9m/s² ] ≈ 20,20s
El paquete tarda 20,2 segundos en caer al suelo.
a) ¿A qué distancia del objetivo cae el paquete?
- Convertimos la velocidad horizontal a m/s :
Vx = 800km/h . ( 1.000m / 1km ) . ( 1h / 3.600s ) ≈ 222,22m/s
Hallamos la distancia horizontal o alcance del paquete. Reemplaza el tiempo de vuelo y la velocidad horizontal en (**):
x = 222,22m/s . 20,20s = 4.488,84m
Entonces la distancia que cae del objetivo :
x' = 5.000m - 4488,84m = 511,16m
El paquete cae a 511,16 metros del objetivo.
c) ¿Con que velocidad llega el paquete al piso?
- La componente horizontal de la velocidad es constante en todo el trayecto :
Vx = 800km/h = 222,22m/s = cte
- La componente vertical de la velocidad aumenta a medida que el paquete baja, su magnitud al llegar al piso es : Vy = -gt
Vy = - 9,8m/s². 20,20s = - 197,96m/s
Negativa porque está dirigida hacia abajo.
Entonces la velocidad al tocar el suelo es :
V = ( 222,22 ; - 197,96 ) m/s
Su módulo : V² = Vx² + Vy²
V = √[ 222,22² + 197,96² ] m/s
V ≈ 297,61m/s
Su dirección bajo la horizontal :
θ = Tan¯¹( -197,96/222,22 ) ≈ - 41,7°