Question

Una asociación contra el cáncer de niños se encarga de recolectar latas de refrescos desechables con el propósito de venderlas y así obtener una cantidad de dinero extra para continuar con su labor.



Según su estadística, la ecuación que representa el número de latas a recolectar es la siguiente f(x)= -x2 + 10x donde f(x) señala la cantidad de latas recolectar y “x” representa el tiempo en semanas. Ligado a esto, la asociación ya cuenta con 20,000 latas que ha recolectado por su cuenta.

a) ¿Cuál es el punto máximo del número de latas que se recolectan, así como el tiempo en el que ya no se recolecta nada? (No olvides que los resultados son en miles).

b) ¿Cuál es la relación que existe entre el tiempo y el número de latas que se juntaron? y ¿cuál sería el total de latas en el punto máximo, en conjunto con lo ya obtenido por la asociación con anterioridad?
c) ¿Qué relación existe entre el punto máximo alcanzado y la recta secante y su pendiente?, relaciónalo con los datos obtenidos en tu actividad.
Considera que para la pendiente tendrás que usar los siguientes valores:

X1 = 0

X2 = 5

Y1 = 20 mil latas

Y2= el punto máximo obtenido de tu gráfica

Answer 1

Partimos de la ecuación:  Y = -x² + 10x
Donde:
X: tiempo en semanas
Y: la cantidad de latas recolectar (en miles)

Primeramente, ¿qué función representa la ecuación?:
Y = -(x² - 10x + 25 - 25) [Completación de cuadrados]
Y = -(x - 5)² + 25
Y - 25 = -(x - 5)²

Representando de tal forma una parábola

a) Punto máximo del número de latas: Como la parábola abre hacia abajo posee un punto máximo el cual es su vértice (5, 25), es decir, 5 semanas y 25 mil latas. No se recolecta nada en el punto (10,0), es decir transcurrido 10 semanas.

b) Anteriormente se recogieron 20 mil latas. Desde las 0-5 semanas el número de latas fue aumentando, hasta que a partir de las 5-10 semanas comenzó a decaer la cantidad obtenida

Para saber la cantidad total se cuantificará la cantidad de 1 a 10 semanas (se obtiene sustituyendo el valor de x en la ecuación principal):

F(1) = -(1)² + 10*(1) = 9
F(2) = -(2)² + 10*(2) = 16

Y así sucesivamente, obteniéndose al final:

9 + 16 + 21 + 24 + 25 + 24 +21 + 16 + 9 + 0 + 20 = 185 mil latas
[La cantidad en negrita fue la recolectada previamente]

c)

Pendiente: $m = \frac{25-20}{5-0} = 1$

Planteamos la ecuación de la recta en el punto máximo: y - y1 = m (x -x1)

y - 25 = 1 *(x-5)
y - 25 = x - 5
y = x + 20