Question

Una arquitecta va a construir un puente con un arco parabólico bajo tablero. Si la luz del puente es de 10 metros y la altura máxima del arco es de 5 metros. Determine las longitudes de las columnas sabiendo que, sobre el eje central del arco, el tablero está a una distancia de 1 metro del arco y la separación entre ellas es la misma.

Answer 1

La longitud de las columnas son 1.2, 1.8, 2.8 y 4.2 respectivamente.

Si tomamos el río como el plano y = 0, entonces el plano del tablero se encuentra en y = 6, ya que la altura máxima de la parabola es de 5 m y la distancia del tablero sobre la parabola es de 1 m.

Tomando el eje y como el eje central, el vértice de la parábola será (h,k) = (0,5), por lo tanto:

(x-h)² = -4p(y - k)

x² = -4p(y-5)

Sabiendo que en los extremos, el valor de x = 0 y el valor de y = 5 (El puente mide 10 m, por tanto serian 5 para cada lado) hallamos p como:

5² = -4p(0-5)

25 = 20p

p = 25/20

p = 1.25

Luego:

x² = -4p(y-5)

x² = -4(1.25)(y-5)

x² = -5(y-5)

O bien en función de x:

$y = 5-\dfrac{x^2}{5}$

Las columnas parten de y = 6 hasta la parabola, por tanto sus medidas serán:

$h(x)= 6 - \left(5-\dfrac{x^2}{5}\right)$

$h(x) = 1+ \dfrac{x^2}{5}$

Como se separan 1 m en x, hallamos su longitud evaluando x en 1, 2, 3 y 4.

$h(1) = 1+ \dfrac{1^2}{5} = 1.2\ m$

$h(2) = 1+ \dfrac{2^2}{5} = 1.8\ m$

$h(3) = 1+ \dfrac{3^2}{5} = 2.8\ m$

$h(4) = 1+ \dfrac{4^2}{5} = 4.2\ m$

R/ La longitud de las columnas son 1.2, 1.8, 2.8 y 4.2 respectivamente.