Question

Una araucaria proyecta una sombra de 532 m de largo . Determine la altura del árbol si el ángulo de elevación del sol es de 25 grados

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 248 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del árbol junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del árbol, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por el árbol hasta cierto punto donde esta se extiende .Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde el punto donde culmina la sombra hasta el extremo superior del árbol visto con un ángulo de elevación al sol de 25°

Donde se pide hallar:

La altura del árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la longitud de la sombra proyectada por el árbol y de un ángulo de elevación al sol de 25°

• Sombra del árbol = 532 metros

• Ángulo de elevación = 25°

• Debemos hallar la altura del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado - que es la longitud de la sombra proyectada por el árbol y conocemos un ángulo de elevación al sol de 25° y debemos hallar la altura del árbol, - la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Determinamos la altura del árbol

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 25^o }$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(25^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ altura \ del \ arbol }{ sombra\ del \ arbol} } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol =sombra\ del \ arbol \ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol =532 \ m \ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol =532 \ m \ . \ 0.466307658155 } }$

$\boxed{\bold { altura\ del \ arbol= 248.07\ m } }$

$\textsf{Redondeando }$

$\large\boxed{\bold { altura \ del \ arbol \approx 248 \ m } }$

Luego la altura del árbol es de aproximadamente 248 metros

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto