Question

Una antena está colocada en la terraza de un edificio. A 300 metros del pie del edificio se ve el borde de la terraza del edificio bajo un ángulo de elevación 23º y la punta de la antena bajo un ángulo de 25º. ¿Cuál es la altura de la antena?

Answer 1

La altura de la antena es de 12.55 metros      

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Dado que desde cierta distancia se observa la base o parte inferior de una antena con un ángulo de elevación de 23° y el extremo o parte superior de dicha antena con un ángulo de elevación de 25°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABC en donde el lado AC representa la línea visual a la terraza del edificio en donde se ubica la base de la antena, la cual se observa con un ángulo de elevación de 23°, el lado BC equivale a la altura del edificio desde su base hasta su terraza en donde se ubica la base de la antena, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, - de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia “x”-, teniendo finalmente el lado AB el cual es la distancia desde determinado punto hasta la base del edificio en donde se halla la antena en su cima, siendo este cateto el adyacente al ángulo

El triángulo ABD en donde el lado AD representa la línea visual hasta el extremo superior de la antena colocada en el edificio, la cual es vista con un ángulo de elevación de 25°, el lado BD es la altura del edificio desde su base hasta la parte superior de la antena que tiene en su cima, siendo este cateto el opuesto al ángulo de elevación conocido de este triángulo, - donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia “y”-, teniendo por último, el lado AB -siendo este cateto el adyacente al ángulo dado- el cual es la distancia desde determinado punto al edificio  - coincidiendo con el cateto adyacente del primer triángulo-

Donde se pide determinar la altura "h" de la antena

Por tanto si hallamos la altura del edificio hasta la base de la antena - distancia “x”- y la altura del edificio hasta el extremo superior de la antena - distancia “y”- en donde ambas longitudes son los catetos opuestos a los respectivos ángulos de elevación de los dos triángulos rectángulos:

Luego la altura de la antena- la cual es nuestra incógnita- se reduce a una resta de distancias entre la longitud de “y” y la longitud de “x”

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"

Trabajamos en el triángulo ABC

Hallamos la distancia x - altura hasta la base de la antena-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 23^o }$

$\boxed{\bold { tan(23^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(23^o) = \frac{ distancia \ x }{ distancia\ al \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = distancia\ al \ edificio \ . \ tan(23^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 300 \ m \ . \ tan(23^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 300 \ m \ . \ 0.42447481621 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 127.342449 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 127.35 \ metros } }$

Luego la altura hasta la base de la antena es de 127.35 metros

Trabajamos en el triángulo ABD

Hallamos la distancia y -altura hasta el extremo superior de la antena-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β $\bold{\beta = 25^o }$

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(25^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia\ al \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia\ al \ edificio \ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 300 \ m \ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 300 \ m \ . \ 0.466307658155 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y =139.892297 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 139.90 \ metros } }$

Por tanto la altura hasta el extremo superior de la antena es de 139.90 metros

Hallamos la altura h de la antena

$\boxed{\bold { Altura \ de \ la \ Antena\ (h) = distancia \ y \ -\ distancia \ x } }$

$\boxed{\bold { Altura \ de \ la \ Antena\ (h)= 139.90 \ m\ -\ 127.35 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Altura \ de \ la \ Antena\ (h) = 12.55 \ metros } }$

La altura de la antena es de 12.55 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio planteado