Question

Una abrazadera circular de acero debe ajustar fuertemente alrededor de un tubo delgado de aluminio. El radio externo del tubo de aluminio es de 2.540 cm a 20℃. El radio interno de la abrazadera de acero es de 2.495 cm a 20℃. ¿A qué temperatura debe calentarse la abrazadera de acero para que ajuste perfectamente sobre el tubo de aluminio, suponiendo que la temperatura del aluminio permanece constante? ¿A qué temperatura debe enfriarse el tubo de aluminio para que ajuste perfectamente en el interior de la abrazadera de acero, suponiendo que la temperatura del acero permanece constante?

Answer 1

Para que la abrazadera ajuste perfectamente en el tubo de aluminio hay que calentar la abrazadera hasta 1523°C o enfriar el tubo a -747°C (lo cual excede el límite impuesto por el cero absoluto)

Explicación:

En este caso inducimos la dilatación o contracción térmica de uno de los dos elementos sean el tubo de aluminio o la abrazadera de acero para que entren perfectamente, tenemos que los coeficientes de dilatación del acero y del aluminio son:

$\alpha_{Fe}=1,2x10^{-5}\°C^{-1}\\\alpha_{Al}=2,31x10^{-5}\°C^{-1}$

Ahora si lo que vamos a hacer es calentar la brida para que entre perfectamente en el tubo de acero dejando este último a 20°C, tenemos que ir a la ecuación de expansión térmica:

$R_{Fe}=R_{oFe}(1+\alpha_{Fe}\Delta T)\\R_{Fe}=R_{oAl}=>\frac{R_{oAl}}{R_{oFe}}=1+\alpha_{Fe} \Delta T\\\\\Delta T=\frac{1}{\alpha_{Fe}}(\frac{R_{oAl}}{R_{oFe}}-1)\\\\\Delta T=\frac{1}{1,2x10^{-5}}(\frac{2,540}{2,495}-1)\\\\\Delta T=1503\°C$

La temperatura final de la brida es:

$T_f=T_i+\Delta T=20\°C+1503\°C=1523\°C$

La otra forma de abordarlo es inducir la contracción térmica del tubo de aluminio, dejando la brida a 20°C, vamos a la ecuación de expansión térmica:

$R_{Al}=R_{oAl}(1+\alpha_{Al}\Delta T)\\\\R_{Al}=R_{oFe}=>1+\alpha_{Al}\Delta T=\frac{R_{oFe}}{R_{oAl}}\\\\\Delta T=\frac{1}{\alpha_{Al}}(\frac{R_{oFe}}{R_{oAl}}-1)\\\\\Delta T=\frac{1}{2,31x10^{-5}}(\frac{2,495}{2,540}-1)\\\\\Delta T=-767\°C$

La temperatura final del tubo de aluminio es:

$T_f=20\°C-767\°C=-747\°C$

Temperatura imposible de alcanzar por exceder el límite que supone el cero absoluto.