Question

un vitral esta compuesto por un rectangulo y un semicirculo de radio r. si el perimetro del vitral debe ser 400cm, encuentras las dimensiones del vitral de mayor area

Answer 1

Se trata de una figura compuesta por un semicírculo de radio r adosado a un rectángulo de lado 2r y el otro lado desconocido, x.

El perímetro de esa figura será la semicircunferencia más tres lados del rectángulo (uno de lado 2r y los otros dos x).

Semicircunferencia: πr

Rectángulo: 2r + 2x

Perímetro: 400 = πr + 2r + 2x. De allí puedes despejar el lado x:

x = 200 - (π/2) r - r    Expresion (1)


El área de la figura será el área del semicírculo + el área del rectángulo:

Area = π(r^2) / 2 + 2rx

Sustituyendo el valor de x por la expresión (1):

Area = π(r^2) /2 + 2r[200 - πr/2 - r] = π(r^2)/2 + 400r - πr^2 - 2r^2

El área máxima se halla derivando e igualando a cero:

d [area] / dr = 0 = πr + 400 - 2πr -4r = 400 - πr - 4r

=> r = 400 /(π + 4) = 56

Ahora puedes hallar x, el lado desconocido del rectángulo:

x = 200 - π*56/2 - 56 = 56.

Respuesta: el vitral tendrá un semicírculo de radio 56cm y un rectángulo de lados 56cm y 112cm.