Question

Un vertice de un rectangulo esta en el punto (6, 1); sus diagonales se intersecan en
(2, 4) y uno de sus lados tiene pendiente −2. Determinar los otros vertices.

Answer 1

Los otros  vértices del rectángulo son B(2/3;-1), C(10/3;9) y D(-2;7)

Explicación paso a paso:

Si uno de los lados tiene pendiente -2, existe otro lado paralelo con la misma pendiente, y el otro par de lados al ser perpendiculares a estos tienen pendiente 1/2.

Además los vértices tendrán simetría central respecto del centro. Por lo que podemos definir el vector AO entre A(6,1) y O(2,4). Luego lo podemos trasladar ubicando su origen en O(2,4) para obtener C. Queda:

AO=(2-6;4-1)=(-4;3)

Luego el punto C partiendo de O(2,4) es:

C=(2+(-4);4+3)=(-2;7)

El punto D es la intersección entre la recta de pendiente -2 que pasa por (6,1) y la recta de pendiente 1/2 que pasa por (-2,7).

$-2x+b=y\\-2(6)+b=1\\\\b=13\\\\\frac{1}{2}x+b=y\\\frac{1}{2}(-2)+b=7\\b=8$

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

$-2x+13=y\\\frac{1}{2}x+8=y\\\\-2x+13=y\\4(\frac{1}{2}x+8=y)\\\\\-2x+13=y\\2x+32=4y\\------\\45=5y=>y=9$

Hallamos x:

$-2x+13=y\\\frac{1}{2}x+8=y\\\\-2x+13=y\\(-1)(\frac{1}{2}x+8=y)\\\\\-2x+13=y\\-\frac{1}{2}x-8=-y\\------\\\frac{3}{2}x+5=0=>x=\frac{10}{3}$

Con lo que otro vértice es C(10/3;9)

Luego para hallar el punto B planteamos el vector DO desde D hasta el centro:

CO=(2-10/3;4-9)=(-4/3;-5)

Y su origen lo trasladamos al punto O, o sea el centro del rectángulo para hallar C:

D=(2-4/3;4-5)=(2/3;-1)