Question

Un vértice de un paralelogramo está en (1, 4); sus diagonales se intersectan en (2,1) y los lados tienen pendientes 1 y -1/7. Encuentra las ecuaciones de sus lados y sus otros vértices.

Answer 1

Si un vértice de un paralelogramo está en (1,4) y los lados tienen pendientes 1 y $-\frac{1}{7}$ significa que tenemos las ecuaciones de dos de los lados. El de pendiente 1 es:

$y=4; x=1 => y=ax+b\\4=1.1+b\\y=x+3$

Mientras que el de pendiente -1/7 es:

$y=4; x=1=> y=ax+b\\\\4=-\frac{1}{7}.1+b\\\\b=4+\frac{1}{7}=\frac{29}{7}\\\\y=-\frac{1}{7}x+\frac{29}{7}\\\\y=\frac{x-29}{-7}$

Con lo que los vectores directores de cada recta son (1,1) y (-7,1), los otros dos lados serán rectas paralelas a estas dos. Escritas de otra forma y sabiendo que pasan por (1,4) quedarían:

$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}\\\\L_2:\frac{x-1}{-7}=\frac{y-4}{1}$

Ahora tenemos que las dos diagonales se intersecan en (2,1), en un paralelogramo, las diagonales se intersecan en sus puntos medios de modo que podemos establecer un vector desde el vértice conocido hasta el punto de cruce:

$P_c=(2,1)\\P_v=(1,4)\\a=P_cP_v=(2-1,1-4)=(1,-3)$

Luego si trasladamos ese mismo vector de modo que tenga su origen en el punto de cruce de las diagonales tendremos el vértice opuesto a (1,4):

$P_{v2}=a+P_c=(2,1)+(1,-3)=(2+1,1-3)=(3,-2)$

Con este punto podemos hallar fácilmente las ecuaciones de los otros dos lados, teniendo los sendos vectores directores:

$L_3: (x,y)=(3,-2)+\lambda(1,1), \lambda\epsilon R\\L_4: (x,y)=(3,-2)+\delta(-7,1), \delta\epsilon R$

Ahora para hallar los otros dos vértices que faltan, no hay más que hallar las intersecciones entre L2 y L3 y entre L1 y L4, para ello en las ecuaciones de las rectas despejamos y, tenemos para L2 y L3:

$L_2:\frac{x-1}{-7}=\frac{y-4}{1}\\L_3:\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{1}\\\\-7(y-4)=x-1~~~~~~~~~~~~~~~x-3=y+2\\-7y+28=x-1~~~~~~~~~~~~~~~y=x-5\\y=\frac{x-29}{-7}$

Igualamos las expresiones obtenidas

$\frac{x-29}{-7}=x-5\\x-29=-7(x-5)\\x-29=-7x+35\\8x=64\\x=8$

Luego reemplazamos en alguna de las dos ecuaciones para obtener y:

$L_3:\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{1}\\8-3=y+2\\y=3$

Con lo que un vértice está en (8,3)

Ahora repetimos el proceso con L1 y L4:

$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}\\\\L_4:\frac{x-3}{-7}=\frac{y+2}{1}\\\\y=x+3\\y=\frac{x-3}{-7}-2=\frac{x-3+14}{-7}=-\frac{x+11}{7}\\\\x+3=-\frac{x+11}{7}\\7x+21=-x-11\\8x=-32\\x=-4$

Reemplazamos -4 en la ecuación de L1:

$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}\\\\-4-1=y-4\\y=-1$

Con lo que los lados del paralelogramo son:

$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}\\\\L_2:\frac{x-1}{-7}=\frac{y-4}{1}\\\\L_3:\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{1}\\\\L_4:\frac{x-3}{-7}=\frac{y+2}{1}$

Y los vértices son (1,4), (8,3), (-4,-1) y (3,-2).

En la imagen adjunta se observa el gráfico en GeoGebra.