Un vendedor de frutas tiene 100 kg de naranja para la venta a S/2 por kilogramo; además, cada día que pasa se estropea 1 kg. Cuando baja la oferta de la fruta, el precio se incrementa en S/0,10 por kilogramo. Entonces, la función que representa el ingreso por la venta de todas las naranjas, en relación con el número de días que transcurren, está dada por el producto de la cantidad por el precio: F(x) = (100 – x) (2 0,1x). Donde: "x" representa los días. ¿En cuántos días debe vender las naranjas para obtener el máximo ingreso? ¿Cuánto es el máximo ingreso que obtiene?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El máximo beneficio obtenido es de 36 para 40 dias en la venta de 100 kilos de naranjas
La función que representa el costo de todas las naranjas en relación con el número de días que han transcurrido es:
f(x) = (100-x) (2+0,1x).
x: es el numero de días
¿En cuántos días se deben vender las naranjas para obtener el máximo beneficio?
f(x) = 200+10x-2x-0,1x²
Derivamos e igualamos a cero para obtener los días en que se pueden vender las naranjas y obtener el máximo beneficio:
f´(x) = 8-0,2x
0 = 8-0,2x
x =40 días
¿Cuál será el máximo beneficio obtenido?
F(x) = 200+8*40-0,1(40)²
F(x) = 360
Tiempo
(días): f(x):
0 200
20 320
40 360
60 320
80 200
100 0
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Explicación:
El vendedor de frutas debe vender las naranjas en 40 días para obtener un máximo ingreso de S/360.
Explicación:
La función objetivo es
F(x) = (100 – x) (2 + 0,1x) = -0,1x² + 8x + 200
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de F.
F' = -0,2x + 8
F' = 0 ⇒ -0,2x + 8 = 0 ⇒ x = 40
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
F'' = -0,2
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
F''(40) < 0 ⇒ x = 40 es un máximo de la función F.
Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de x y obtenemos el valor máximo de F; es decir, el valor de los días de venta para obtener el máximo ingreso.
F(40) = -0,1(40)² + 8(40) + 200 = 360
El vendedor de frutas debe vender las naranjas en 40 días para obtener un máximo ingreso de S/360.
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2. ¿De qué otra manera se puede expresar la función F(x) = (100 – x) (2 + 0,1x)?
3. ¿Qué sucede con el ingreso si la venta se realiza en 20 días?
4. ¿Qué sucede con el ingreso si la venta excede los 40 días?
5. ¿Qué partes de la gráfica obtenida no corresponden a la resolución de la situación?
Esas tambien?