Question

Un turista observa el castillo de San Felipe
desde la entrada de su hotel bajo un ángulo de
70°. Luego de unos minutos sale a dar un
paseo y estando a 50 metros del hotel, observa
el mismo castillo bajo un ángulo de 60°. ¿A
qué distancia del hotel, se encuentra dicho
castillo?​

Answer 1

La distancia desde el hotel al castillo es de aproximadamente 56.52 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Según la figura que se adjunta se representa la situación en un triángulo oblicuángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la distancia desde el hotel donde se hospeda el turista al castillo, el lado AB (c) que equivale a la distancia desde el hotel donde se aloja la persona hasta el turista -donde el turista se ubica en el vértice A-, luego de alejarse de su hotel 50 metros - y el lado AC (b) que es la distancia desde el turista hasta el castillo. Donde desde la ubicación del turista se observa al castillo con un ángulo de 60° y desde el hotel del turista se avista a dicho castillo con un ángulo de 70°

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo ABC

Denotamos al ángulo con el cual el turista observa el castillo dado por enunciado de 60° como α estando él colocado en el vértice A

$\large\boxed {\bold { \alpha = 60^o }}$

Denotamos al ángulo con el cual se avista el castillo desde el hotel dado por enunciado de 70° como β estando el hotel ubicado en el vértice B

$\large\boxed {\bold { \beta = 70 ^o }}$

Hallamos el valor del tercer ángulo C -en el vértice donde se encuentra el castillo- al cual denotamos como γ  

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = A+ B+ C}}$

$\boxed {\bold { 180^o = \alpha + \beta + \gamma}}$

$\boxed {\bold { 180^o = 60^o+ 70^o + \gamma }}$

$\boxed {\bold { \gamma= 180^o - 60^o- 70^o }}$

$\large\boxed {\bold { \gamma = 50 ^o }}$

Calculamos la distancia entre el hotel y el castillo

Hallando el valor del lado BC (a)

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ a }{sen(60 ^o) } = \frac{ 50 \ metros }{ sen(50^o ) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 50 \ metros \ . \ sen(60^o ) }{sen(50^o) } }}$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {2 } }$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 50 \ metros \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{0.766044443119 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 25\ . \not2 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 0.766044443119 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 25\sqrt{3} }{ 0.766044443119 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { a\approx 56.5257 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 56.52 \ metros }}$

La distancia desde el hotel al castillo es de aproximadamente 56.52 metros

Completamos el problema:

Determinamos la distancia entre el turista y el castillo

Hallando el valor del lado AC (b)

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ b }{sen(70 ^o) } = \frac{ 50 \ metros }{ sen(50^o ) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 50 \ metros \ . \ sen(70^o ) }{sen(50^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 50 \ metros \ . \ 0.939692620786 }{ 0.766044443119 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 46.9846310393 }{ 0.766044443119 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { b\approx 61.33407 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 61.33 \ metros }}$

La distancia desde el turista al castillo es de aproximadamente 61.33 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas