Question

Un túnel se ha de construir por una montaña. para estimar la longitud del túnel, un topógrafo hace las mediciones que se ven en la figura. use la información del topógrafo para aproximar la longitud del túnel​

Answer 1

La longitud del túnel será de aproximadamente 6.61 kilómetros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto donde se ubicó el topógrafo para medir, donde el lado BC (a) representa una de las mediciones realizadas por el topógrafo hasta un punto del túnel y el lado CA (b) la otra medición efectuada por el topógrafo hasta el segundo punto del túnel donde ambas mediciones realizadas forman un ángulo de 80°.

Se pide hallar la longitud del túnel que se construirá

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Hallamos la longitud del túnel (lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = (4 \ km) ^{2} + ( 6 \ km) ^{2} - 2 \ . \ 4\ km \ . \ 6\ km \ . \ cos(80^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 16 \ km ^{2} + 36 \ km^{2} - 48 \ km^{2} \ . \ cos(80^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 52 \ km^{2} - 48 \ km^{2} \ . \ 0.1736481776 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 52 \ km^{2} - 8.34 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 43.66 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 43.66 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 43,66 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 6.60757\ km }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 6.61 \ km}}$

La longitud del túnel será de aproximadamente 6.61 kilómetros

Se adjunta gráfico