Question

Un triángulo tiene una vértice en el origen y los otros coinciden con los puntos (6,6) y (6,-2) hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo​.

Answer 1

La ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo​ es (x - 4)² + (y - 2)² =20.

¿Qué es un circuncentro de un triángulo?

El circuncentro de un triángulo puede hallarse como la intersección de las 3 mediatrices del mismo, este punto coincide con el centro de una circunferencia en la cual está inscrito el triángulo.

¿Qué es una mediatriz de un triángulo?

Una mediatriz de un triángulo es el segmento de recta que siendo ortogonal a cada lado, divide a este en dos segmentos iguales, es decir, pasa por el punto medio de cada lado del triángulo.

¿Qué es la distancia?

La distancia es el valor de la longitud de un punto a otro. Esta se calcula mediante la expresión:

$d= \sqrt{(x_{1} -x_{0})^{2} +(y_{1} -y_{0} )^{2} +(z_{1} -z_{0} )^{2} }$

Resolviendo:

Tenemos los vértices:

• A(0, 0)
• B(6, 6)
• C(6, -2)

Obtendremos la expresión analítica de cada segmento de recta del triángulo dado a partir de sus vértices.

Segmento AB:

m = (6 - 0)/(6 - 0)

m = 6/6

m = 1

Usamos la ecuación punto pendiente y sustituimos B:

y - 6 = x - 6

y = x - 6 + 6

y = x

Segmento BC:

m = (-2 - 6)/(6 - 6)

m = -8/0

m = ∞

Entonces la ecuación de la recta es x = 6.

Segmento CA:

m = (0 + 2)/(0 - 6)

m = -2/6

m = -1/3

Usamos la ecuación punto pendiente y sustituimos A:

y - 0 = -1/3(x - 0)

y = -x/3

Mediatriz AB:

Esta recta es ortogonal a AB, por lo tanto, el producto de su pendiente con la recta AB es igual a -1.

m*(1) = -1

m = -1

Además, pasa por el punto medio a AB.

Pm = (A + B)/2

Pm = (0 + 6, 0 + 6)/2

Pm = (6,6)/2

Pm = (3, 3)

Reemplazando en la ecuación punto pendiente:

y - 3 = -1(x - 3)

y - 3 = -x + 3

y = -x + 3 + 3

y = -x + 6

Mediatriz BC:

m*(∞) = -1

m = -1/∞

m = 0

Además, pasa por el punto medio a BC.

Pm = (B + C)/2

Pm = (6 + 6, 6 - 2)/2

Pm = (12, 4)/2

Pm = (6, 2)

Reemplazando en la ecuación punto pendiente:

y - 2 = 0(x - 6)

y - 2 = 0

y = 2

Mediatriz CA:

m*(-1/3) = -1

m = 3

Además, pasa por el punto medio a CA.

Pm = (C + A)/2

Pm = (0 + 6, 0 - 2)/2

Pm = (6, -2)/2

Pm = (3, -1)

Reemplazando en la ecuación punto pendiente:

y + 1 = 3(x - 3)

y + 1 = 3x - 9

y = 3x - 10

Ahora interceptamos las mediatrices.

Mediatriz AB con mediatriz BC, igualando:

-x + 6 = 2

x = 6 - 2

x = 4

Ahora hallamos a y:

y = -4 + 6

y = 2

Mediatriz BC con mediatriz CA, igualando:

2 = 3x - 10

3x = 2 + 10

x = 12/3

x = 4

Ahora hallamos a y:

y = 3*4 - 10

y = 12 - 10

y = 2

Ya tenemos el centro de la circunferencia, C(4, 2). Ahora hallaremos el radio.

d = √((0 - 4)² + (0 - 2)²)

d = √(16 + 4)

d = √20 = r

Finalmente, la ecuación canónica es:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Sustituimos valores:

(x - 4)² + (y - 2)² =20

Después de resolver, podemos concluir que la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo​ es (x - 4)² + (y - 2)² =20.

Si deseas tener más información acerca de mediatriz de un triángulo, visita:

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