Question

Un triángulo tiene un área de 16cm^2 y dos de sus lados tienen medidas de 7cm y 5cm. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman dichos ángulos?

Answer 1

Respuesta:

El ángulo que forman los lados de 7 y 5 cm, es de 66.03°

Explicación paso a paso:

Observa la figura adjunta, porfa. tenemos el triángulo ABC

Sabemos que el área de un triángulo es $\frac{b*h}{2}$ ; tenemos la medida del área, que es $16cm^{2}$, pero no sabemos la altura; sin embargo, nos dan la medida de dos lados, uno de los cuales puede funcionar como una base para una de las tres alturas de un triángulo oblicuángulo. Tomemos entonces como base al lado AC de 5cm, al cual lo llamaremos "b" porque se opone al ángulo A, y calculemos la altura BD (h) que cae perpendicular a dicho lado:

$16cm^{2}=\frac{5cm*h}{2}$ ; de donde: $32cm^{2}=5cm*h$ ;  de donde

$h=\frac{32cm^{2}}{5cm}$ ;  es decir: $h=6.4cm$

Tenemos que entonces que la altura h, formó los triángulos rectángulos ADB y CDB.

Los lados conocidos son AB de 7cm, al cual lo llamaremos "c" porque se opone al ángulo C, y el lado "b" de 5 cm. El ejercicio nos pide calcular la medida del ángulo A que forman dichos lados "c" y "b", de 7 y 5 cm, respectivamente.

Para saber la medida de ese ángulo A, podemos aplicar la ley de cosenos, pero necesitamos conocer la medida del tercer lado, es decir de BC, al cual llamaremos "a", porque se opone al ángulo A.

Dividamos el lado b, o sea la base AC, en los segmentos AD y DC, de tal forma que cada uno de ellos sea el respectivo cateto menor de los triángulos rectángulos ADB y BDC. Llamemos "x" al segmento AD y llamemos "y" al segmento DC.

¿Cuál es la idea? Si averiguamos la medida de "x", podremos inmediatamente saber la medida de "y" puesto que $x+y=5cm$ ; y si sabemos la medida de "y" podremos saber la medida de "a" puesto que ya conocemos que h=6.4cm. Una vez conocida la medida de "a" podremos aplicar ley de cosenos para calcular el ángulo A.

Apliquemos Pitágoras para el triángulo ADB:

$(7cm)^{2}=x^{2}+(6.4cm)^{2}$ ; de donde $x^{2}=(7cm)^{2}-(6.4cm)^{2}$

$x=\sqrt{(7cm)^{2}-(6.4cm)^{2}}=2.84cm$

$x+y=5cm$ ;    $2.84cm+y=5cm$ ;     $y=5cm-2.84cm$ ;     $y=2.16cm$

Ahora que conocemos "y", apliquemos Pitágoras para el triángulo BDC

$a^{2}=(2.16cm)^{2}+(6.4cm)^{2}$ ;  de donde $a=\sqrt{(2.16cm)^{2}+(6.4cm)^{2}}$

$a=6.75cm$

Y ahora que ya conocemos el tercer lado, apliquemos Ley de cosenos para el triángulo ABC, con respecto al ángulo A:

Recordemos que esa ley dice: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc(cosA)$ ;  reemplazamos:

$6.75^{2}=5^{2}+7^{2}-2*5*7*cosA$

$45.5625=25+49-70*cosA$ ; $45.5625=74-70cosA$ ;   $70cosA=74-45.5625$ ;    $70cosA=28.4375$ ;

$cosA=\frac{28.4375}{70}$  ;  $cosA=0.40625$

$A=cos^{-1}(0.40625)$ ;  $A=66.03$°  Esa es la respuesta