Question

Un triángulo tiene sus vértices en A(2,5), B(5,-2) y C(-3,-4) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice C?​

Answer 1

Respuesta:

El ángulo en el vértice C mide 46.9°

Explicación paso a paso:

Nos apoyaremos en la gráfica adjunta.

Primero calcularemos las distancias entre los diferentes puntos, para así saber la medida de cada lado, con:   $d=\sqrt{(x_{2} -x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1} )^{2}}$

Distancia entre A y B, la llamaremos lado "c" porque se opone al ángulo C:  A:  $x_{1}=2$   $y_{1}=5$ ;  B: $x_{2}=5$   $y_{2}=-2$

$d(A,B)=\sqrt{(5-2)^{2} +(-2-5)^{2}}=7.62$   Lado c=7.62

Distancia entre B y C, la llamaremos lado "a" porque se opone al ángulo A:  B: $x_{1}=5$   $y_{1}=-2$  ;    C: $x_{2}=-3$ ;  $y_{2}=-4$

$d(B,C)=\sqrt{(-3-5)^{2}+(-4-(-2))^{2}}=8.25$   Lado a=8.25

Distancia entre A y C, la llamaremos lado "b" porque se opone al ángulo B:  A:  $x_{1}=2$ ;  $y_{1}=5$ ;      C: $x_{2}=-3$ ;  $y_{2}=-4$

$d(A,C)=\sqrt{(-3-2)^{2}+(-4-5)^{2}}=10.30$  Lado "b"=10.30

Tenemos ya la medida de cada lado. Ahora calculemos el ángulo solicitado, mediante aplicación del T del Coseno:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2*a*b*cos(C)$

Despejamos cos (C):  

$cos(C)=\frac{c^{2}-a^{2}-b^{2}}{-2ab}=\frac{7.62^{2}-8.25^{2}-10.3^{2}}{-2*8.25*10.3}=0.683$   cos(C)=0.683

Ahora, para despejar el ángulo, usamos $cos^{-1}$

$< C=cos^{-1}(0.683)=46.9$

Respuesta. El ángulo en el vértice C mide 46.9°