Question

Un triángulo es tal que la suma de las longitudes del primer lado con el segundo es 18 centímetros. La diferencia entre las longitudes el tercero y el primero es 4 cm. Y la diferencia entre el tercero y el segundo es 2 centímetros. ¿Cuál es el perímetro? me ayudan por favor?

Answer 1

Vamos a denotar como a, b, c a los tres lados del triángulo, donde a es el primer lado, b es el segundo y c es el tercero.

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Ahora, analicemos el problema y construyamos ecuaciones.

$\textsf{"La suma de las longitudes del primer lado con el segundo es 18 cent\'{i}metros":}$

$\large{\boxed{\textsf{a + b = 18}}}.......(1)$

$\textsf{"La diferencia entre las longitudes el tercero y el primero es 4 cm":}$

$\large{\boxed{\textsf{c -- a = 4}}}.......(2)$

$\textsf{"La diferencia entre el tercero y el segundo es 2 cent\'{i}metros":}$

$\large{\boxed{\textsf{c -- b = 2}}}.......(3)$

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Ahora, la idea es tomar dos de estas ecuaciones para formar un sistema de ecuaciones y, de esta forma, reducir una variable.

En esta oportunidad, tomaremos las dos últimas ecuaciones formadas (2 y 3).

$\Large{\begin{cases} \textsf{c -- a = 4}\\\textsf{c -- b = 2} \end{cases}}$

Vamos a reducir (eliminar) la variable "c". Para eso, multiplicamos toda la segunda ecuación por (-1), lo que es igual a cambiar los signos a toda esta ecuación.

$\Large{\begin{cases} \textsf{ c\ \ -- a = 4}\\\textsf{--c + b = --2} \end{cases}}$

Ahora, sumamos en forma vertical. Como c + (-c) = 0, la tachamos, y queda:

   $\Large{\textsf{ \not \! c - a = 4 }}\ \ \ \downarrow +$

$\Large{\underline{\textsf{ \not \! \! \! \! \! -c + b = -2 }}}$

$\Large{\boxed{\textsf{--a + b = 2}}}.......(4)$

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¿Para qué nos sirvió esto? Para poder obtener una ecuación que posea las mismas variables que tenga alguna ecuación ya planteada. En este caso, vemos que las ecuaciones (4) y (1) tienen las mismas variables.

Nuevamente, formamos un sistema de ecuaciones con (4) y (1) y resolvemos:

$\Large{\begin{cases} \textsf{ a + b = 18} \downarrow + \\\underline{\textsf{--a + b = 2}} \end{cases}}$

            $\Large{\textsf{2b = 20}}$

              $\red{\Large{\boxed{\textsf{b = 10}}}}$

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¡Bien! Ya tenemos la medida de un lado: 10 cm. Con este dato, hallamos los demás. Reemplazamos en la ecuación y calculamos "a":

$\large{\textsf{a + b = 18}}$

$\large{\textsf{a + 10 = 18}}$

         $\red{\large{\boxed{\textsf{a = 8}}}}$

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Finalmente, hallamos el valor de "c":

$\large{\textsf{c -- a = 4}}$

$\large{\textsf{c -- 8 = 4}}$

     $\red{\large{\boxed{\textsf{c = 12}}}}$

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Entonces:

Los lados del triángulo miden 8, 10 y 12 cm, respectivamente.

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Pide el perímetro:

$\large{\textsf{P = a + b + c}}$

$\large{\textsf{P = 8 cm + 10 cm + 12 cm}}$

$\red{\large{\boxed{\textbf{P = 30 cm}}}}$

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Respuesta.

El perímetro del triángulo en cuestión es 30 cm.

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