Question

Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros de igual longitud. Si el triángulo tiene área igual a dos, ¿cuál es el área del hexágono?

Answer 1

Si el área del triángulo es 2, el área del hexágono de igual perímetro es 6.

Explicación paso a paso:

Si el triángulo y el hexágono tienen perímetros de igual longitud tenemos la siguiente igualdad entre los perímetros:

$6l_H=3l_T$

Ahora bien, el área del triángulo equilátero es la siguiente:

$A_T=\frac{BH}{2}=\frac{L_T.H}{2}\\\\H=L_T.sen(60\°)=L_T.\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\A_T=\frac{\sqrt{3}L_T}{4}$

En cuanto al hexágono regular, se puede ver que este está formado por 6 triángulos equiláteros si trazamos sus diagonales. La base de estos triángulos es LH:

$A_H=6\frac{\sqrt{3}L_H}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}L_H$

Ahora de la igualdad entre perímetros hallamos LH:

$L_H=\frac{L_T}{2}$

Y LT es a su vez, sabiendo que el área del triángulo es 2:

$L_T=\frac{4A_T}{\sqrt{3}}=\frac{4.2}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}$

Este valor lo reemplazamos para hallar el área del hexágono:

$A_H=\frac{3\sqrt{3}}{2}L_H\\\\A_H=\frac{3\sqrt{3}}{4}L_T\\\\A_H=\frac{3\sqrt{3}}{4}\frac{8}{\sqrt{3}}\\\\A_H=6$