Question

Un tren está a 3,2km de un cruce de vías. Otro tren se halla a 5,2km del mismo cruce y va por la otra vía. Si las dos vías se cruzan a 68° y son rectas, la distancia entre los dos trenes es de,

A) 2,53 km
B) 4,98 km
C) 6,105 km
D) 7,053 km​

Answer 1

La distancia entre los dos trenes es de 4,98 kilómetros   -Opción B -

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold{ a^{2} = \ b^{2} \ + \ c^{2} \ - \ 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}$

$\boxed {\bold{ b^{2} = \ a^{2} \ + \ c^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta )}}$

$\boxed {\bold{ c^{2} = \ a^{2} \ + \ b^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Nos piden determinar la distancia que existe entre dos trenes que hacen su trayectoria por vías distintas y donde se encuentran ambos a distintas distancias de un cruce de vías, donde las vías se cruzan formando un ángulo de 68°.

Representamos esta situación en un imaginario triángulo ABC en donde el lado AC (lado a) y el lado BC (lado b) representan respectivamente al tren que se encuentra a  3,2 kilómetros del cruce de vías y al que se halla a 5,2 kilómetros del mismo punto, estando el cruce de vías en el vértice C formando un ángulo de 68° con ambas vías. Siendo el lado AB (lado c) la distancia a la que se hallan los dos trenes y que es nuestra incógnita.

Hallando la distancia entre ambos trenes  (Lado AB - lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold{ c^{2} = \ a^{2} \ + \ b^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold{ c^{2} = \ 3,2^{2} \ + \ 5,2^{2} \ - \ 2 \ . \ 3,2 \ . \ 5,2 \ . \ cos(68 )\° }}$

$\boxed {\bold{ c^{2} = \ 10,24 \ + \ 27,04 \ - \ 33,28 \ . \ cos(68 )\° }}$

$\boxed {\bold{ c^{2} = \ 37,28 \ - \ 33,28 \ . \ 0,3746065934159 }}$

$\boxed {\bold{ c^{2} = \ 37,28 \ - \ 12,47 }}$

$\boxed {\bold{ c^{2} = \ 24,81 }}$

$\boxed {\bold{ \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{24,81} }}$

$\boxed {\bold{ \ c = \sqrt{24,81} }}$

$\boxed {\bold{ \ c \approx 4,98 \ kil\'ometros }}$

La distancia entre ambos trenes es de 4,98 kilómetros