Un tren está a 3,2km de un cruce de vías. Otro tren se halla a 5,2km del mismo cruce y va por la otra vía. Si las dos vías se cruzan a 68° y son rectas, la distancia entre los dos trenes es de,
A) 2,53 km
B) 4,98 km
C) 6,105 km
D) 7,053 km
Respuestas a la pregunta
La distancia entre los dos trenes es de 4,98 kilómetros -Opción B -
Procedimiento:
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
- El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
- El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces, se cumplen las relaciones:
Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto
Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.
Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,
a² + b² = c²
Siendo a la hipotenusa del triángulo.
Solución:
Nos piden determinar la distancia que existe entre dos trenes que hacen su trayectoria por vías distintas y donde se encuentran ambos a distintas distancias de un cruce de vías, donde las vías se cruzan formando un ángulo de 68°.
Representamos esta situación en un imaginario triángulo ABC en donde el lado AC (lado a) y el lado BC (lado b) representan respectivamente al tren que se encuentra a 3,2 kilómetros del cruce de vías y al que se halla a 5,2 kilómetros del mismo punto, estando el cruce de vías en el vértice C formando un ángulo de 68° con ambas vías. Siendo el lado AB (lado c) la distancia a la que se hallan los dos trenes y que es nuestra incógnita.
Hallando la distancia entre ambos trenes (Lado AB - lado c)
Por el teorema del coseno podemos expresar
Reemplazamos valores
La distancia entre ambos trenes es de 4,98 kilómetros
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