Question

Un topógrafo ubicado en un punto C localiza dos edificios A y B. Si el punto C está ubicado a 750 m de A y a 900 m de B con el ángulo ACB = 95 grados ,
Calcule la distancia aproximada entre los dos edificios?

Answer 1

La distancia entre los dos edificios es de aproximadamente 1220.72 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto donde se ubicó el topógrafo para medir, donde el lado AC (b) representa una de las mediciones realizadas por el topógrafo desde el punto C hasta un edificio localizado en el punto A y el lado BC (a) la otra medición efectuada por el topógrafo desde el punto C hasta el segundo edificio ubicado en el punto B. Donde ambas mediciones realizadas forman un ángulo de 95°. Y el lado AB (c) representa la distancia entre los dos edificios -ubicados respectivamente en los puntos A y B -la cual es nuestra incógnita

Donde se pide determinar la distancia entre los dos edificios

Hallamos la distancia "c" entre los puntos A y B -donde se localizan respectivamente los dos edificios-

La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la distancia entre los dos edificios

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = (900 \ m) ^{2} + ( 750 \ m) ^{2} - 2 \ . \ 900 \ m \ . \ 750\ m \ . \ cos(95^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 810000 \ m ^{2} + 562500 \ m^{2} - 1350000 \ m^{2} \ . \ cos(95^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1372500\ m^{2} - 1350000 \ m^{2} \ . \ -0.087155742748 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1372500 \ m^{2} +117660.2527098 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1490160.2527098 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 1490160.2527098 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 1490160.2527098 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 1220.721202\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 1220.72 \ metros}}$

La distancia entre los dos edificios es de aproximadamente 1220.72 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados