Question

Un topógrafo desea medir la altura del pico de la montaña sobre el nivel del Lago. Para esto toma las medidas que aparecen en la figura. ¿A qué altura está la cima con respecto al lago?

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Answer 1

La altura del lago a la cima es de aproximadamente 1210,57 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo. Y también de un problema en un triángulo rectángulo.

Donde para el primer triángulo dado que no es rectángulo- dado por el enunciado- se resolverá empleando el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Para el segundo triángulo que es rectángulo. se emplearán razones trigonométricas para su resolución

Tenemos dos imaginarios triángulos: el ABC el cual es oblicuángulo donde el lado AC contiene ciertas mediciones, al lado AB también contiene otra incluyendo una medida de longitud tomada sobre el mismo lago y el lado BC que es una incógnita que se debe hallar en primer lugar para poder determinar a que altura se encuentra la cima de la montaña sobre el lago. Y donde fue necesario prolongar el triángulo oblicuángulo extendiendo el segmento AB  para obtener la altura CE que es la segunda incógnita y a la vez lo que se pide hallar en el enunciado: la altura a la que se encuentra la cima de la montaña con respecto al lago. Teniendo en cuenta que CE es la altura relativa a AB. Siendo BC en el triángulo que se ha prolongado una hipotenusa y CE un cateto del triángulo rectángulo

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(\alpha) } = \frac{b}{sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma) } }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Determinaremos los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo

Hallando el valor del ángulo γ

Por enunciado en el vértice B no han dado el valor de un ángulo de 47°

El cual es el ángulo suplementario al ángulo obtuso del triángulo oblicuángulo. Los ángulos suplementarios cuando se suman entre sí se obtiene como resultado un ángulo llano, es decir de 180°

Luego

$\boxed {\bold { \gamma = 180\° - 47\° }}$

$\boxed {\bold { \gamma = 133\° }}$

Hallando el valor del ángulo α

Sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo.Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180\° = 35\°\ + 133\° \ + \ \alpha }}$

$\boxed {\bold { \alpha = 180\° \ - 35\°\ - 133\° }}$

$\boxed {\bold { \alpha = 12\° }}$

Hallando la longitud del lado BC = b

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(\alpha) } = \frac{b}{sen(\beta ) } }}$

$\boxed {\bold { \frac{600 \ m }{sen(12)\° } = \frac{b}{sen(35\° ) } }}$

$\boxed {\bold {b = \frac{600 \ m \ . \ sen(35\° ) }{sen(12)\° } } }}$

$\boxed {\bold {b = \frac{600 \ m \ . \ 0,5735764363510 }{0,2079116908177 } } }}$

$\boxed {\bold { b \approx 1655,2501 \ metros }}$

$\boxed {\bold { b \approx 1655,25\ metros }}$

La longitud de BC = B es de aproximadamente 1655,25 metros

Hallando a que altura está la cima con respecto al lago-  tomada en vertical-  ( lado CE)

$\boxed {\bold {sen(47)\° = \frac{cateto \ opuesto }{hipotenusa} }}$

$\boxed {\bold {sen(47)\° = \frac{altura \ lago \ a \ la \ cima }{ proyecci\'on \ a \ la \ cima } }}$

$\boxed {\bold { altura \ lago \ a \ la \ cima = proyecci\'on \ a \ la \ cima \ . \ sen(47)\°} }}$

$\boxed {\bold { altura \ lago \ a \ la \ cima = 1655,25 \ metros \ . \ sen(47)\°} }}$

$\boxed {\bold { altura \ lago \ a \ la \ cima = 1655,25 \ metros \ . \ 0,7313537016191 }}$

$\boxed {\bold { altura \ lago \ a \ la \ cima \approx 1210,5732 \ metros }}$

$\boxed {\bold { altura \ lago \ a \ la \ cima \approx 1210,57 \ metros }}$

La altura del lago a la cima es de aproximadamente 1210,57 metros