Un terreno rectangular se encuentra adyacente a un río y se debe cercar en 3 lados, ya que el lado que da al río no requiere cerca. Si se dispone de 100m de cerca, encuentre las dimensiones del terreno con el área máxima
Respuestas a la pregunta
Respuesta: el lado que da al río es el largo = 50m y el ancho = 25m y el área máxima = 1250m²
Explicación paso a paso:
[Ver imagen adjunta]
Llamemos a y b al ancho y largo del terreno respectivamente.
Nos dicen que solo se van a cercar 3 lados con 100 m de cerca. Expresando este dato algebraicamente, tenemos:
Perímetro = 2a + b = 100m } Ecuación 1
El área de un terreno rectangular es el producto de sus dos dimensiones. Expresando este dato algebraicamente tenemos:
Área = a·b } Ecuación 2
Despejamos una variable de la ecuación 1 y sustituimos su valor en la ecuación 2:
2a + b = 100m } Ecuación 1
a = (100m - b)/2 ] Ecuación 1
Área = a·b } Ecuación 2
Área = b·(100m - b)/2
Área = (100b - b²)/2 = 50m·b -b²/2
Tenemos el área en función de una dimensión.
Para hallar los máximos o mínimos de una función tenemos que calcular la primera derivada. Los valores de la variable que hacen máxima o mínima el área son los que anulan la primera derivada.
Área' = 50 -b
Anulamos la primera derivada:
50 - b = 0
b = 50 m , para esta dimensión , tenemos un máximo o mínimo del área.
Para determinar si es un máximo o mínimo tenemos que hallar la segunda derivada.
Área" = -1 , como la segunda derivada es negativa, tenemos un máximo de la función para ese valor de la dimensión.
Para calcular la otra dimensión, sustituimos este valor en la ecuación 1:
a = (100m - b)/2 ] Ecuación 1
a = (100m - 50m)/2 = 50m/2 = 25m esta es la dimensión duplicada
Para calcular el área máxima con las condiciones del enunciado, sustituimos estos valores en la ecuación 2
Área = a·b } Ecuación 2
área = 50m·25m = 1250m² área máxima
Respuesta: el lado que da al río es el largo = 50m y el ancho = 25m y el área máxima = 1250m²
[Ver imagen adjunta]
Nota: Nuestra solución significa que con un perímetro fijo con las condiciones del enunciado, el área máxima del terreno se obtiene cuando el lado duplicado es la mitad del lado único.
Michael Spymore
