Question

Un tenista lanza su pelota verticalmente y hacia arriba y nota que la pelota tarda 3.8 s en regresar a
su mano. Determine:
a) La máxima altura que alcanza la pelota de tenis
b) la rapidez con que la pelota fue lanzada hacia arriba.

Answer 1

a) La pelota de tenis alcanza una altura máxima de 17.69 metros

b) La rapidez inicial del lanzamiento fue de 18.62 metros por segundo (m/s)

 

Se trata de un problema de tiro vertical

En el tiro vertical un objeto es lanzado verticalmente con determinada velocidad inicial hacia arriba o hacia abajo

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) o movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad.

La aceleración de la gravedad se puede considerar constante y dirigida hacia abajo.

Si se establece un sistema de referencia en el plano cartesiano el objeto se encuentra sobre el eje y, donde  $\bold { y_{0} = 0 }$

Y donde el cuerpo parte con determinada velocidad inicial, siendo su aceleración constante y esta toma el valor de la gravedad.

$\large\textsf{Donde se pueden tener dos casos seg\'un el sistema de referencia }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia arriba } \bold { \ donde \ la \ velocidad \ inicial\ V_{0} > 0 }$

Siendo las ecuaciones  

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia abajo } \bold { donde \ la \ velocidad \ inicial\ \ V_{0} < 0 }$

Siendo las ecuaciones

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

   

Solución

$\large\textsf{Se tiene un tiro vertical hacia arriba }$

a) Determinamos la altura máxima que alcanza la pelota de tenis

Donde antes calculamos con que velocidad inicial lanzó el tenista la pelota hacia arriba

Luego hallamos la rapidez inicial con que se lanzó la pelota

Consideramos el tiempo de subida:

Se tiene como dato el tiempo de vuelo o el tiempo de permanencia en el aire del proyectil el cual es de 3.8 segundos

Sabemos que la altura máxima del proyectil se alcanza a la mitad del tiempo de vuelo. Es decir, para el tiempo de subida

Por lo tanto  

Si el cuerpo regresa al punto de partida -regresando a la mano del tenista- al cabo de 3.8 segundos, ello implica que demoró 1.9 segundos en alcanzar la altura máxima

Es decir cuando la pelota de tenis alcanzó la altura máxima

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad es cero  $\bold { V_{y} = 0 }$

$\large\textsf{ Consideramos el valor de la gravedad }\ \ \bold { g= \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\boxed {\bold {0 \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { -V_{0} = \ - \ g \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { V_{0} = \left (9.8 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \right) \ . \ (1.9 \not s) }}$

$\large\boxed {\bold {V_{0} \ = \ 18.62\ \frac{m}{s} }}$

La rapidez inicial del lanzamiento de la pelota de tenis fue de 18.62 metros por segundo (m/s)

Calculamos la altura máxima que alcanza la pelota de tenis

Empleamos la siguiente ecuación de MRUV

$\boxed {\bold { H \ = \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { H \ = \left( 18.62 \ \frac{m}{s} \right) \ . \ ( 1.9 \ s )\ -\frac{1}{2} \ \left(9.8 \ \frac{m}{s^{2} }\right ) \ . \ (1.9\ s)^{2} }}$

$\boxed {\bold { H \ = \left( 18.62 \ \frac{m}{\not s}\right ) \ . \ ( 1.9 \not s )\ -\frac{ \left ( 9.8 \ \frac{m}{s^{2} }\right ) \ . \ (3.61\ \not s^{2} ) }{2} }}$

$\boxed {\bold { H \ = 35.378\ m \ - 17.689 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H = 17.69 \ m }}$

La pelota alcanza una altura máxima de 17.69 metros

b) La rapidez con que la pelota fue lanzada hacia arriba por el tenista

Se calculó la rapidez inicial del lanzamiento para resolver el primer inciso

Luego la rapidez inicial con que la pelota de tenis fue lanzada hacia arriba fue de 18.62 metros por segundo (m/s)