Question

Un tanque rectangular de agua de 5 pies de ancho esta dividido en dos tanques por medio de una separacion que se mueve en la direccion indicada a razon de 1pie³/min cuando el tanque frontal se bombea agua a razon de 1pie³/min. ¿A que razon cambia el nivel de agua cuando el volumen de agua en el tanque frontal es de 40pies³ y X=4pies?

Answer 1

Cuando el volumen de agua en el tanque frontal es de  40  pies³  y  X =  4  pies, el nivel de agua en el tanque se reduce a razón de  2  pie³/min.

Explicación paso a paso:

Llamemos

x  =  nivel de agua en el tanque frontal en un instante

y  =  longitud del tanque frontal en un instante

Entonces, el volumen de agua (V)  en el tanque frontal en un instante dado será

V  =  5 x y

Con la información dada en la interrogante, formemos la ecuación auxiliar

40  =  5 (4) (y)        ⇒        y  =  2  pies

Ahora calculamos la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo, aplicando la regla de la cadena:

$\bold{\dfrac {dv}{dt}~=~\dfrac {\partial V}{\partial x}\dfrac {dx}{dt}~+~\dfrac {\partial V}{\partial y}\dfrac {dy}{dt}}$

En el caso estudio

$\dfrac {dv}{dt}~=~(5 y)\cdot \dfrac {dx}{dt}~+~(5 x)\cdot\dfrac {dy}{dt}$

Sustituyendo    x  =  4  pies    y  =  2  pies    dV/dt  =  1pie³/min      dy/dt  =  1pie³/min

$1~=~(5)\cdot(2)\cdot\dfrac {dx}{dt}~+~(5)\cdot(4)\cdot(1)\qquad\Rightarrow\qquad\bold{\dfrac {dx}{dt}~=~-2~~\frac{pie^{3}}{min}}$

Cuando el volumen de agua en el tanque frontal es de  40  pies³  y  X =  4  pies, el nivel de agua en el tanque se reduce a razón de  2  pie³/min.