Question

Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos. El depósito debe almacenar 10000 litros de fluido. Determinar el radio r y la longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque.

Answer 1

Hola!

Bien estamos ante un problema de optimización.

Primero busquemos el volumen total del tanque, el cual viene dado por: Volumen del cilindro y del la esfera, compuesta de los dos hemisferio.

$Vc = \pi * R^2 * H$ 

$Ve = \frac{4}{3} * \pi * R^3$

$VT = \frac{4}{3} * \pi * R^3 + \pi * R^2* H$

Despejamos H en función de R:

$H = \frac{V T - \frac{4}{3} * \pi * R^3 }{\pi R^2}$

Ahora planteamos el area total del tanque:

$S = 2* \pi *R* H + 4* \pi * R^2$

Sustituimos H y acomodamos la ecuación:

$S = 2*(10000 - \frac{4}{3} * \pi * R^3) + 4* \pi * R^2$

Derivamos y igualamos a cero para obtener el minimo:

$S' = -8*\pi*R^2 + 8*\pi*R --\ \textgreater \ 0 = -8*\pi*R^2 + 8*\pi*R$

Si despejamos tenemos 2 soluciones R = 0 y R = 1. Obviamente es la segunda pues se debe tener algún radio. Recordar VT = 10000 litros.

Ahora sustituimos en la ecuación de H para tener la altura.

$H = \frac{10000 - \frac{4}{3} * \pi * 1 }{\pi *1} = 3181.76 m$

El radio y la altura para gasto mínimo de material son:

R = 1m y H = 3181,76m

Espero haberte ayudado.

Answer 2

Respuesta:

E

Explicación paso a paso:

En el ejercicio anterior no simplificaron bien cuando reemplazaron H hace falta un R , las respuestas están en metros luego hay que convertir los litros a metros cúbicos