Question

Un tanque elevado se localiza a 80 m de un edificio. Desde una ventana del edificio, una persona nota que el ángulo de elevación hasta lo alto del tanque es de 35º y que el ángulo de depresión hasta el nivel del suelo es de 20º. ¿Cuál es la altura del tanque elevado? ¿A que altura se ubica la ventana?.

Answer 1

La altura del tanque elevado es de 85.12 metros

La ventana se encuentra a una altura de 29.12 metros        

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.    

Dado que una persona desde la ventana en lo alto de su edificio observa la parte inferior de un tanque elevado con un ángulo de depresión de 20° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 35°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual - que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del tanque elevado -, con un ángulo de depresión de 20°, el lado DB que es una porción del tanque elevado y a la vez coincide con la altura de la ventana en donde se ubica la persona observadora, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, - de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-;  y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al tanque elevado y también la distancia horizontal hasta éste, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor

El triángulo ACD: en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del tanque elevado -, con un ángulo de elevación de 35°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del tanque elevado -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal hasta el tanque elevado

Donde se pide determinar la altura "h" del tanque elevado y la altura "x" donde se encuentra la ventana

Donde halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-

Hallada la dimensión de "x" nos dará la altura a la que se ubica la ventana

Y la sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del tanque

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

Trabajamos en el triángulo ABD

Hallamos la altura x – altura de la ventana - que coincide con una porción de altura del tanque-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 20° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 20^o }$

$\boxed{\bold { tan(20^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(20^o) = \frac{ altura \ x }{distancia \ al \ tanque } } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =distancia \ al \ tanque\ . \ tan(20^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =80\ metros \ . \ tan(20^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =80\ metros \ . \ 0.363970243266 } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =29.1176\ metros } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ x =29.12\ metros } }$

Luego la altura x es de 29.12 metros, siendo la altura de la ventana –que coincide con una porción de la altura del tanque-

Trabajamos en el triángulo ACD

Hallamos la altura y –  segunda porción de la altura del tanque elevado-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 35^o }$

$\boxed{\bold { tan(35^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(35^o)= \frac{ altura \ y }{ distancia \ al \ tanque } } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =distancia \ al \ tanque \ . \ tan(35^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =80 \ metros \ . \ tan(35^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =80 \ metros \ . \ 0.70020753821 } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =56.01 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ y =56 \ metros } }$

Por tanto la altura y es de 56 metros, siendo la otra parte de la altura del tanque elevado

Hallamos la altura h del tanque elevado

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Tanque \ (h) = altura \ x\ +\ altura \ y } }$

$\bold{altura \ x =Altura \ Ventana}$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Tanque\ (h)= 29.12 \ m +\ 56 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Tanque\ (h)=85.12\ metros } }$

La altura del tanque elevado es de 85.12 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto