Question

Un tanque de aceite tiene un accidente accidente en el mar, y derrama su contenido a una razón de 150 galones por minuto. El aceite se derrama sobre la superficie del agua con un grosor de 1/10 de pulgada.
Dado que 1 pie³ equivale a 7.5 galones, determinar:
-La razón con la que se incrementa el radio cuando alcanza 500 pies​

Answer 1

Cuando el radio de la mancha es de 500 pies, este se incrementa a razón de 0,762 pies por minuto.

Explicación paso a paso:

El espesor de la mancha de aceite es de 0,00835 pies, el equivalente a 0,1 pulgadas. Si consideramos a la mancha como un cilindro circular con esta altura, el volumen de aceite derramado es:

$V=\pi.r^2h$

De la cual podemos despejar el radio en función del volumen:

$r=\sqrt{\frac{V}{\pi.h}}=$

Para hallar la razón con la que se incrementa el radio conociendo la razón con que se incrementa el volumen queda;

$\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{dV}.\frac{dV}{dt}\\\\\frac{dr}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{V}{\pi.h}}}.\frac{1}{\pi.h}.\frac{dV}{dt}$

El volumen derramado cuando el radio es de 500 pies es:

$V=\pi.(500ft)^2.0,00835ft=6560ft^3$

Y la tasa de aumento de volumen en pies cúbicos es:

$150gal/min.\frac{1ft^3}{7,5gal}=20ft^3/min$

Con estos datos podemos reemplazar valores:

$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{6560ft^3}{\pi.0,00835ft}}}\frac{1}{\pi.0,00835ft}.20\frac{ft^3}{min}\\\\\frac{dr}{dt}=0,762\frac{ft}{min}$