Question

Un tanque contiene 100 galones de agua que se drena por una fuga del fondo y hace que el tanque se vacíe en 40 minutos. La Ley de Torricelli da el volumen del agua restante en el tanque después de t minutos como

Answer 1

El volumen que queda en el tanque al cabo de un tiempo 't' en minutos es $V=\frac{t^2}{16}-5t+100$

Explicación paso a paso:

La expresión de la ley de Torricelli se puede aproximar para bajas velocidades iniciales como:

$v=\sqrt{2.g.h}$

Donde v es la velocidad media del agua que sale del orificio, g la constante gravitatoria y h la distancia entre la superficie del líquido y el agujero. Podemos también hallar el caudal medio del agua como:

$A_av=A_a\sqrt{2.g.h}$

Donde Aa es el área del orificio, el caudal es variación del volumen por unidad de tiempo por lo que queda:

$\frac{dV}{dt}=A_a\sqrt{2gh}$

Si suponemos que el tanque es un prisma o cilindro podemos expresar la altura en función del volumen:

$h=\frac{V}{A_t}$

Donde At es el área de la base del tanque, queda:

$\frac{dV}{dt}=A_a\sqrt{2g\frac{V}{A_t}}\\\\\frac{dV}{\sqrt{V}}=A_a\sqrt{\frac{2g}{A_t}}dt$

Integrando en ambos miembros queda:

$2\sqrt{V}+C_1=A_a\sqrt{\frac{2g}{A_t}}t+C_2\\\\2\sqrt{V}=A_a\sqrt{\frac{2g}{A_t}}t+C$

Reordenando términos queda:

$K=\frac{A_a}{2}\sqrt{\frac{2g}{A_t}}\\\\\sqrt{V}=K.t+C\\\\V=(Kt+C)^2=K^2t^2+2CKt+C^2$

Como el volumen inicial es 100 galones queda:

$C^2=100\\C=10$

Y luego de 40 minutos el volumen es 0, por lo que queda:

$K^2(40)^2+20K.40+100=0\\\\1600K^2+800K+100=0\\\\16K^2+8K+1=0\\\\K=\frac{-8\ñ\sqrt{8^2-4.16.1}}{2.16}=-\frac{1}{4}$

Y el volumen en función del tiempo queda:

$V=\frac{t^2}{16}-5t+100$