Question

Un supermercado de nuestra ciudad ha determinado que el volumen de ventas puede modelarse
mediante la función S(x) = A.$e^{kx}$

Sabiendo que:
0 ≤ x ≤ 5, donde x es el número de semanas después de promover
cierta venta y es una constante real positiva. El volumen de ventas al final de la primera y la tercera

semana fue de $ 78 515 y $ 60 055, respectivamente.

Me salio k = -0.13 y A = 89775 (el positivo)
¿Es correcto? Gracias.

Answer 1

Es correcto, se pueden aproximar los valores a k  =  -0.134  y  A  =  89775.

Explicación paso a paso:

Con los valores de ventas dadas se plantea un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas serán las constantes A y k:

Semana 1:    S(1)  =  78515    x  =  1        ⇒        $78515~=~A\cdot e^{k\cdot(1)}$

Semana 3:    S(3)  =  6055    x  =  3        ⇒        $60055~=~A\cdot e^{k\cdot(3)}$

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de sustitución:

$\left \{ {{78515~=~A\cdot e^{k\cdot(1)}} \atop {60055~=~A\cdot e^{k\cdot(3)}}} \right.$

Se despeja  A  de la primera ecuación y se sustituye en la segunda:

$78515~=~A\cdot e^{k\cdot(1)}\qquad\Rightarrow\qquad A~=~\dfrac{78515}{e^{k\cdot(1)}}\qquad\Rightarrow$

$60055~=~[\dfrac{78515}{e^{k\cdot(1)}}]\cdot e^{k\cdot(3)}}\qquad\Rightarrow\qquad 60055~=~78515\cdot e^{k\cdot(2)}}\qquad\Rightarrow$

$[\dfrac{60055}{78515}]~=~e^{k\cdot(2)}}\qquad\Rightarrow\qquad Ln[\dfrac{60055}{78515}]~=~Ln[e^{k\cdot(2)}}]\qquad\Rightarrow$

$Ln[\dfrac{60055}{78515}]~=~k\cdot(2)\qquad\Rightarrow\qquad (\frac{1}{2})\cdot Ln[\dfrac{60055}{78515}]~=~k\qquad\Rightarrow\qquad\bold{k\approx -0.134}$

Ahora se calcula A sustituyendo k en la ecuación correspondiente:

$A~=~\dfrac{78515}{e^{(-0.134)\cdot(1)}}\qquad\Rightarrow\qquad\bold{A~\approx~89775}$

Es correcto, se pueden aproximar los valores a k  =  -0.134  y  A  =  89775.