Question

Un sólido se forma juntando dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. El volumen total del
sólido es de 14 cm3. Encontrar el radio del cilindro que produce el área superficial mínima.

Answer 1

El área superficial del sólido es la suma de las áreas del cilindro circular recto y la esfera de los extremos. Ella se minimiza cuando el radio es igual a  $\sqrt[3]{\frac{21}{4\pi} }$  cm.

Explicación paso a paso:

La función objetivo es el área superficial del sólido. Si llamamos  h  la altura de la porción cilíndrica y  r  el radio de esta porción y de la esfera; la función objetivo viene dada por:

$A=2\pi rh+4\pi r^{2}$

Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar  h  en función de  r:

$V=\pi r^{2}h+\frac{4}{3}\pi r^{3}=14$    de aqui    

$h=\frac{14-\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\pi r^{2}}$    por tanto la función objetivo es

$A=\frac{28}{r} +\frac{8}{3} \pi r^{2}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar  la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.

$A'=-\frac{28}{r^{2}} +\frac{16}{3} \pi r$

A' = 0 ⇒ $-\frac{28}{r^{2}} +\frac{16}{3} \pi r=0$ ⇒

$-28+\frac{16}{3} \pi r^{3}=0$       ⇒       $r=\sqrt[3]{\frac{21}{4\pi} }$

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

$A''=\frac{56}{r^{3}} +\frac{16}{3} \pi$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$A''_{(\sqrt[3]{\frac{21}{4\pi} })}>0$ ⇒ $r=\sqrt[3]{\frac{21}{4\pi} }$  es un mínimo de la función A.

El área superficial del sólido de 14 cm³ de volumen, es mínima cuando el radio del sólido es   $\sqrt[3]{\frac{21}{4\pi} }$  cm.