Question

Un sistema masa resorte, se mueve horizontalmente con MAS e siendo de 25 g la masa de la partícula y 400dinas/cm la K del resorte. El movimiento se inicia desplazando el cuerpo 10 cm hacia la derecha de su posición de equilibrio, comunicándole una v = 40cm/s hacia la derecha. Calcular: a) el periodo, b) la frecuencia, c) la frecuencia angular, d) la energía total E, e) la amplitud A, f) la fase Φ, g) la velocidad máxima h) la aceleración máxima, i) la elongación, velocidad y aceleración en el instante π/8 segundos después de iniciado el
movimiento.

Answer 1

a) El periodo : T = 1.5707 seg

b) La frecuencia : f = 0.6366 hz

c) La frecuencia angular  : w = 4 rad/seg

d) La energía total E  :  E= 39987.92 ergios

e) La amplitud A :  A = 14.14 cm

f) La fase Φ : Ф = π/4 rad

g) La velocidad máxima : Vmax = 56.56 cm/seg

h) La aceleración máxima: amax = 226.24 cm/seg2

i) La elongación, velocidad y aceleración en el instante π/8 segundos después de iniciado el  movimiento son : x = 10 cm ; V = -40cm/seg ; a = 160 cm/seg2 .

 

Para la solución se aplican las formulas del movimiento armónico simple de la siguiente manera :

 m = 25 g

 K = 400 Dinas/cm

 x = 10cm a la derecha

 V = 40 cm /seg  hacia la derecha

 a) T =?  b) f =? c) w =? d) Energía =?  e) A =? f) fase Ф =? g) Vmax=? h) a=?

  T = 2π√m/K  = 2π√25 g/400 dinas/cm = 1.5707 seg   a)

  f = 1/T = 1/1.5707 seg  = 0.6366 hz   b)

 c) w = 2π*f = 2*π*0.6366 hz = 4 rad/seg

 d)  E = K*A²/2 = 400 dinas/cm * ( 14.14 cm )²/2 = 39987.92 ergios

 e)   x = A *cos ( wt +Ф)       V = - w*A * sen ( wt +Ф)

       Para t = 0 seg

      10 cm = A *cos ( 4rad/seg*0seg  +Ф)     40 cm/seg = - 4rad/seg*A * sen(4rad/seg *0seg  + Ф )

    A= 10/cosФ      A = -10/senФ    igualando :

          10/cosФ = -10/senФ

                senФ = - cosФ

                senФ = - √(1-sen²Ф )  se eleva al cuadrado ambos miembros

                sen²Ф = 1 -sen²Ф

                senФ = √(1/2) = √2/2    ⇒Ф = 45° *π rad/180° = π/4 rad f)

 

      A = 10cm /cos 45°= 14.14 cm  e)

    f) Vmax = w*A = 4 rad/seg * 14.14 cm = 56.56 cm/seg

   g) amax = w²*A = (4 rad/seg)² * 14.14 cm = 226.24 cm/seg2

 

  i)  x=  14.14 cm *cos( 4rad/seg *π/8 seg + π/4 rad)  = 10    cm

   V = - 4rad/seg * 14.14 cm *sen ( 4rad/seg *π/8 seg + π/4 rad) =- 40  cm/seg

  a =-(4 rad/seg )²14.14 cm *cos ( 4 rad/seg * π/8 seg + π/4 rad ) =160  cm/seg2