un sistema consta de tres particulas con una masa de 5 kg cada una colocadas en las esquinas del triangulo equilatero con lados de 30cm
a) calcule la energia potencial del sistema
b) si las particulas se sueltan simultaneamente, donde chocaran?
Respuestas a la pregunta
a) La energía potencial es la suma de las energías potenciales gravitacionales de las partículas:
U = - G m^2 (1/r12 + 1/r23 + 1/r13)
con m la masa de las partículas (i.e. 5 kg)
G la constante de la gravitación,
rij la distancia entre la partícula i y la j.
b) Por la simetría del problema las parículas chocaran en el centro del triángulo.
Bueno, primero hay que describir el sistema:
Suponiendo que el sistema se encuentra aislado en el espacio, tenemos que sobre cada una de las particulas actuan 2 fuerzas con angulos de 60º (triangulo equilatero) y entonces solo tenemos que encontrar la fuerza resultante.
Si dibujas tu diagrama de fuerzas, notarás que todas las fuerzas son iguales (debido a que las masas tambien lo son) pero siempre hay un par de componentes que se anulan y las otras 2 se suman en una misma dirección.
En mi caso, anularé las componentes en "x" y solo trabajaré con las componentes en "y"
Por trigonometría la componente en "y" de la fuerza de atracción esta dada por:
Fy=FSen60º
Pero las fuerzas son iguales y al sumarlas tendremos:
Fr=2FSen60º
Esa es la fuerza resultante que actua sobre cada una de las particulas.
a) La energia potencial depende directamente del sistema de referencia que se emplee, para nuestro caso tomaremos como referencia la altura del triangulo:
h=((30)^2-(15)^2))^1/2 ------->(por pitágoras)
h=25.98cm=0.25m
Ahora la energía potencial necesita de una aceleración que encontraremos con la segunda ley de Newton:
F=ma
a=Fr/m
entonces energia potencial:
U=mah
U=mhFr/m
U=hFr
pero quien es Fr?¿, es la fuerza resultante que actua sobre la partícula.
U=h2FSen60º
pero F=Gm1m2/r^2
como las masas son iguales:
F=Gm^2/r^2
F=(6.67x10^-11)(5)^2/(.30)^2
F=1.85x10^-8N
U=(.25)(2)(Sen60º)(1.85x10^-8)
U=8.02x10^-9 J
b) Este inciso es mucho mas facil que el primero, una vez demostrado que las fuerzas son iguales y que actuan en una sola dirección pero además la fuerza graficamente puede representar a la bizectriz de los ángulos, la pregunta a responder sería "¿donde se intersectan las bizectrices en un triangulo equilatero"?, pues es en el baricentro (tambien es valido decir ortocentro,circuncentro o incentro debido a las propiedades del triangulo equilatero) en un lenguaje mas coloquial, las particulas chocaran en el centro del triangulo ;D