Question

Un satelite de comunicaciones de una masa desconocida describe una orbita circular concentrica con la tierra donde soporta una fuerza de 7.234 m/s^2 como fuerza de su campo gravitacional. Calcular la velocidad, el tiempoocuoado para completrar 3.5 perioados alrededor de la tierra y la altura a la q se encuwntra en relacion a la cima del volcan chimborazo ( h Chimborazo 6268 km)

Answer 1

La solución a la tarea pasa por emplear dos leyes fundamentales de la física, la ley de la fuerzas y la ley de la gravitación universal, ambas de I. Newton.

La tierra ejerce sobre el satélite una fuerza dada por:

${\bf F=m_{sat}.g}$

Donde:

msat = masa del satélite = ?

g = aceleración de la gravedad en la órbita = 7,234 m/s²

Entre ambos cuerpos existe una fuerza de gravedad dada por:

${\bf Fg=G\frac{M_t.m_{sat}}{r^2}}}$

Donde:

G = constante de gravitación universal = 6,67.10⁻¹¹ Nm²/kg²

Mt = masa de la tierra = 5,972.10²⁴ kg

r = distancia que separa los centros de masa de cada cuerpo = ?

Debido a que ambas fuerzas son equivalentes, al operar y sustituir datos se obtiene r:

$F=m_{sat}.g=G\frac{M_t.m_{sat}}{r^2}}\rightarrow r^2=G\frac{M_t}{g}}\rightarrow {\bf r}=\sqrt{G\frac{M_t}{g}}}=\sqrt{6,67.10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\frac{5,972.10^{24} kg}{7,234 m/s^2}}}={\bf 7,42.10^6m}$

Para hallar la velocidad del satélite, se tiene que la fuerza centrípeta del satélite es igual a la fuerza de gravedad que la tierra ejerce sobre el mismo:

${\bf F_c=F_g}\rightarrow m_{sat}.a_c=G\frac{M_t.m_{sat}}{r^2}}\rightarrow m_{sat}.\frac{v^2}{r}=G\frac{M_t.m_{sat}}{r^2}}\rightarrow {\bf v}=\sqrt{G\frac{M_t}{r}}}=\sqrt{6,67.10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\frac{5,972.10^{24} kg}{7,42.10^6m}}}={\bf 7,32.10^3~\frac{m}{s}}$

El periodo del satélite se calcula mediante:

$v=\frac{2\pi.r}{T}\rightarrow {\bf T}=\frac{2\pi.r}{v}=\frac{2\pi.7,42.10^6m}{7,32.10^3\frac{m}{s}}={\bf 6,37.10^3~seg}$

El tiempo empleado en dar 3,5 vueltas a la tierra es:

${\bf T_{3,5~vueltas}}=3,5.6,37.10^3~seg={\bf 22,3.10^3~seg}$

La altura a la cual se encuentra el satélite sobre el Chimborazo es:

$r=R_t~+~h_{sat}\rightarrow {\bf h_{sat}}=r-R_t=7,42.10^6m~-6,370.10^6m={\bf 1,05.10^6m}$

${\bf h_{chimborazo}}=h_ {sat}-6,268.10^3~m=1,05.10^6~m-6,268.10^3~m={\bf 1,044.10^6~m}$