Question

Un sastre puede confeccionar pantalones de vestir a un costo de 600 pesos cada uno. Si los vende a x pesos la unidad (600 ≤ x ≤ 1500), se estima que puede vender (1500 –x) pantalones al mes. Si la utilidad mensual del sastre depende del precio de venta de dicha prenda de vestir, determine cuál debe ser el precio de venta de cada pantalón para que su utilidad mensual sea máxima.​

Answer 1

El precio de venta de cada pantalón para que la utilidad mensual del sastre sea máxima es:

1050 pesos

¿Qué es la utilidad?

La ganancia o utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.

U = I - C

Siendo;

• Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.

        I = p × q

• Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.

        C = Cf + Cv

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿Cuál debe ser el precio de venta de cada pantalón para que su utilidad mensual sea máxima?

Definir;

• Costo: C = 600 pesos
• Ingreso: I = x

Sustituir U(x) y multiplicar por la cantidad de pantalones que se pueden vender al mes;

U(x) = (x - 600)(1500 - x)

U(x) = 1500x - x² - 900000 + 600x

U(x) =  - x² + 2100x - 900000

Aplicar primera derivada;

U'(x) = d/dx(- x² + 2100x - 900000)

U'(x) = - 2x + 2100

Aplicar segundo derivada;

U''(x) = d/dx(-2x + 2100)

U''(x) = -2  ⇒ Máximo relativo

Igualar a cero la primera derivada;

-2x + 2100 = 0

Despejar x;

2x = 2100

x = 2100/2

x = 1050 pesos

Puedes ver más sobre utilidades y optimización aquí:

https://brainly.lat/tarea/59043121

https://brainly.lat/tarea/13504125

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Answer 2

La utilidad máxima se obtiene cuando el precio de venta es de 1050 pesos

Función que determina la utilidad de las ventas

Tenemos que si los vende a un precio de x donde x esta entre 600 y 1500 entonces puede vender 1500 - x, por lo tanto los ingresos son:

I(x) = (1500 - x)*x = 1500x - x²

Luego como los costos son de 600 por pantalón, entonces los costos son:

C(x) = 600*(1500 - x) = 900000 - 600x

La utilidad es igual a los ingresos menos los costos:

U(x) = 1500x - x² - (900000 - 600x)

U(x) = -x² + 2100x - 900000

Cálculo del valor de utilidad máxima

Como la utilidad esta determinada por una función cuadrática con coeficiente principal negativo, entonces el máximo es el punto donde su derivada se anula (único punto crítico)

-2x + 2100 = 0

2x = 2100

x = 2100/2

x = 1050

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