Matemáticas, pregunta formulada por adriananohemypbgvcn, hace 1 año

Un recipiente para beber, en forma de cono, se diseña para contener 27 ³ de agua. Encuentre la altura y el radio del cono que utilizará la menor cantidad de papel.


obezoivan: imagenes?
adriananohemypbgvcn: no hay imagen
obezoivan: mmmm
adriananohemypbgvcn: solo eso me dieron sin imagen ni nada
gonzaloguia: 27 cm^3
juanga1414: Supongo que hay que resolverlo por operadores de Lagrange????

Respuestas a la pregunta

Contestado por juanga1414
26

Hola.
Algunas consideraciones importantes:
Para poder hallar la menor cantidad de papel que satisfaga la restriccion que nos dice el ejercicio debemos hallar el radio y la altura del cono minimos. Para poder optimizar esto recomiendo usar los Operadores de Lagrange.
Hallamos en primer lugar la Función Objetivo y la Función Restriccion. Para esto debemos tener claro las relaciones de un Cono, como por ejemplo saber la Ecuacion del Volumen y el Area Lateral del Cono y por supuesto saber Derivar funciones.
Dicho esto, continuamos..... Derivando ambas Funciones en función de nuestas incognitas que son R (radio) y H (altura).
Paso siguiente usamos la Formula de operadores de Lagrange y remplazando obtenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas. Resolvemos este por Eliminacion y luego factorizamos lo maximo posible. A partir de esto calculamos H en funcion de R para luego sustituir en la Funcion Objetivo y hallar R y H correspondientes; como ultimo paso tomamos valores de prueba que satisfagan la Funcion Restriccion y verificamos que los valores hallados de R y H sean los MINIMOS que cumplan con que el Area lateral del cono sea la Minima.
Te dejo 2 archivos con todo el calculo paso a paso.
Lleva un poco de tiempo resolverlo pero es algo mecanico.
Espero te sirva!!!!
Saludos!!!

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Contestado por mafernanda1008
0

La altura del tetraedro es igual a 3∛(6/π) y el radio es igual a 9/(√(π*3∛(6/π)))

Tenemos que el volumen del cono es 27 cm³, entonces el volumen es:

V = πr²h/3 = 27 cm²

πr²h = 27*3

1.  πr²h = 81

Luego el área del cono es:

2. S = πrg

Donde la generatriz cumple con la ecuación

g² = r² + h²

g = √(r² + h²)

Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación 2:

S = πr*√(r² + h²)

Ahora tenemos que

πr²h = 81

r² = 81/πh

r = 9/(√(πh))

Sustituimos en la ecuación de S

S = π*9/(√πh)*√( 81/πh + h²)

(9√π/√h)*√((81 + πh³)/πh)

Si determinamos un mínimo para la función con la calculadora se logra cuando

h = 3∛(6/π)

Entonces el radio es:

r = 9/(√(π*3∛(6/π)))

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