Question

Un ranchero desea cercar un terreno de pasto en forma de triángulo rectángulo usando 2000 pies de valla a la mano. Exprese el área de este terreno como una función del ángulo . Sugerencia: Use los símbolos en la figura para formar cot y csc .

Answer 1

Respuesta:$A(u)=\frac{2000000cos(u)sin(u)}{(cos(u)+sin(u)+1)^{2} }$

Explicación paso a paso:

Observar la imagen.

Los datos que nos proporcionan es el perímetro del terreno, el cual es de 200 pies, por lo tanto:

$P=x+y+z=2000$

Ahora hallemos el seno y coseno de u:

$cos(u)=\frac{x}{z}$ y $sin(u)=\frac{y}{z}$

Despejamos $x$ y $y$:

$x=z*cos(u)$ y $y=z*sin(u)$

Ahora sustituimos los valores de $x$ y $y$ en la ecuación del perímetro $P$ y despejamos $z$:

$P=z*cos(u)+z*sin(u)+z=2000\\z(cos(u)+sin(u)+1)=2000\\z=\frac{2000}{cos(u)+sin(u)+1}$

Conociendo el valor de $z$ ahora podemos hallar los valores de $x$ y $y$:

$x=\frac{2000*cos(u)}{cos(u)+sin(u)+1}\\y=\frac{2000*sin(u)}{cos(u)+sin(u)+1}$

El área $A$ del triángulo está dada por:

$A=\frac{bh}{2}=\frac{xy}{2}$

Ahora, sustituyendo los valores de $x$ y $y$ en $A$ obtendremos $A(u)$:

$A(u)=\frac{2000000cos(u)sin(u)}{(cos(u)+sin(u)+1)^{2} }$