Question

Un punto se mueve sobre la parte superior de la parábola semi cúbica de la ecuación y2 = x3 de tal manera que la abscisa aumenta a razón de 5cm/s cuando x= 4. ¿Con qué rapidez cambia la ordenada?.

Answer 1

Si la abscisa cambia a razón de 5 centímetros por segundo, la ordenada cambia con rapidez de 15 centímetros por segundo.

¿Cómo hallar la rapidez con que cambia la ordenada?

Si tenemos la rapidez con que cambia la abscisa, asumiendo que las coordenadas están expresadas en centímetros, tenemos la derivada para x=4 $\frac{dx}{dt}$. Para hallar la rapidez con que cambia la ordenada podemos aplicar la regla de la cadena, en la que introducimos la derivada de la ordenada respecto de la abscisa:

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}.\frac{dx}{dt}$

Entonces, a continuación tenemos que obtener la derivada de la función respecto de la variable 'x'. Para ello despejamos la variable 'y' primero:

$y=\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$

Con esto ya podemos calcular la rapidez con que cambia la ordenada:

$\frac{dy}{dt}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.5\frac{cm}{s}=\frac{3}{2}\sqrt{4}.5\frac{cm}{s}\\\\\frac{dy}{dt}=15\frac{cm}{s}$

Aprende más sobre la regla de la cadena en https://brainly.lat/tarea/13866245

#SPJ1