Question

Un puesto de frutas situado a la vera de un camino vende manzanas a 0.75
la libra, duraznos a $0.90 la libra y peras a $0.60 la libra. Muriel compra 18
libras de fruta a un costo total de $13.80. Sus duraznos y peras juntos
costaron $1.80 más que sus manzanas.
a) Establezca un sistema lineal para hallar el número de libras de
manzanas, duraznos y peras que ella compró.
b) Resuelva el sistema usando la Regla de Cramer.

Answer 1

- Denotemos con las siguientes siglas las variables que intervienen en el problema: X : Libras de manzanas Y: Libras de duraznos Z: Libras de peras T= Libras totales de frutas =18 libras Cm= Costo por libra de las manzanas = 0.75 $/libra Cd= Costo por libra de los duraznos = 0.90 $/libra Cp= Costo por libra de las peras = 0.60 $/libra CT= Costo total de las frutas = 13.80 $  - Las relaciones que se tienen son, libras totales de fruta (T) es igual a las libras de cada tipo de fruta comprado: T = X + Y + Z = 18 libras   (1)

- El costo total de las frutas es igual al costo de cada una de las frutas multiplicado por la cantidad en libras comprado de cada uno de ellas: CT = XCm + YCd + ZCp = 13.80$

0.75 X + 0.90Y + 0.60Z = 13.80 $ (2)  

- Ahora como los duraznos (Y) y las peras (Z) juntos costaron 1.80 $ más que sus manzanas. Esto significa:   (YCd + ZCp) = 1.80 $ +XCm -XCm + YCd + ZCp = 1.80 $

-0.75X + (0.90Y + 0.60Z) = 1.80 $ (3)

- Colocando las ecuaciones (1), (2) y (3) juntas, se tiene los siguientes sistemas de ecuaciones:

    X    +     Y +        Z        = 18         (1)  

0.75X +   0.90Y + 0.60Z   = 13.80    (2)

-0.75X + (0.90Y + 0.60Z)  = 1.80      (3) En forma matricial, se tiene:

  1               1            1        X   18

0.75   0.90 0.60 Y 13.80

-0.75   0.90 0.90 Z 1.80

                  18          1            1              

               13.80 0.90 0.60

                 1.80 0.90 0.60  

          X = _____________________  

                      1        1           1  

                     0.75   0.90 0.60  

                     -0.75    0.90 0.60

 X= (18 x 0.90 x 0.60 + 13.80 x 0.90 x 1 + 1 x 0.60 x 1.80 – 1 x 0.90 x 1.80 – 1 x 13.80 x 0.60 - 0.60 x 0.90 x 18) /(1 x 0.90 x 0.60 + 0.75 x 0.90 x 1 + 1 x 0.60 x (-0.75) – 1 x 0.90 x (-0.75) –0.60 x 0.90 x 1 – 1 x 0.75 x 0.60)

X = (9.72 + 12.42 + 1.08 – 1.62 – 8.28 – 9.72) / (0.54 + 0.675 – 0.45 + 0.675 – 0.54 + 0.45) X = 3.6 / 0.45

X = 8                   1         18            1                 

             0.75       13.80    0.60                

            -0.75 1.80     0.60

 Y = _____________________                       

                1              1         1  

                 0.75 0.90 0.60  

               -0.75 0.90 0.90

Y = (1 x 13.80 x 0.60 + 0.75 x 1.80 x 1 + 18 x 0.60 x (-0.75) – 1 x 13.80 x (-0.75) – 18 x 0.75 x 0.60 – 0.60 x 1.80 x 1) /0.45 Y = (8.28 + 1.35 – 8.1 + 10.35 – 8.1 – 1.08) /0.45

Y = 2.7/0.45 = 6                   1           1          18                

               0.75 0.90 13.80              

                -0.75 0.90 1.80  

           Z = _____________________                    

                            1             1               1  

                           0.75 0.90 0.60  

                       -0.75 0.90 0.90

Z = (1 x 0.90 x 1.80 + 0.75 x 0.90 x 18 + 1 x 13.80 x (-0.75) – 18 x 0.90 x (-0.75) – 1 x 0.75 x 1.80 – 13.80 x 0.90 x 1)/0.45 Z = (1.62 + 12.15 - 10.35 + 12.15 – 1.35 – 12.42)/0.45 Z = 1.80/0.45 = 4