Question

un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba. si su altura h en metros a los t segundos esta dada por la funcion h(t)=-4,9t*2+147t+20 a)desde que altura fue lanzado el proyectil. b)cual es la altura del proyectil a los 5 segundos. c)cual es la altura maxima del proyectil. d)cuanto tiempo debe pasar para que el proyectil este a una altura de 1000 metros. e)a los cuantos segundos llega al suelo​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Cinemática

$\textbf{Problema :}$

Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba. si su altura $h$ en metros a los $t$ segundos esta dada por la función $h_{(t)} = -4,9t^{2} + 147 t + 20$ responda las preguntas.

$\textbf{Pregunta}$

Desde que altura fue lanzado el proyectil.

RESOLUCIÓN

Empecemos recordando la siguiente fórmula del tema de movimiento rectilíneo uniformemente variado.

                                         $\boxed{y_{f} = y_{0} + v_{0}t - \dfrac{1}{2} g t^{2}}$

Note que $y_{f}$ indica la posición final, interpretaremos esto como la altura que alcanza el proyectil en un determinado instante de tiempo. Es decir $y_{f} = h_{(t)}$.

Comparando con $h_{(t)}$

                             $\boxed{y_{0} + v_{0}t - \dfrac{1}{2} g t^{2} \equiv -4,9t^{2} + 147 t + 20}$    

Se deduce $v_{0} = 147$ , $\dfrac{1}{2} g = 4,9$ y $y_{0} = 20$.

Deducimos que la velocidad inicial $v_{0}$ tiene por magnitud $147$ metros por segundo, esta es la rapidez con la que se disparó el proyectil.

Deducimos también que la posición inicial $y_{0}$ nos indica la altura en la cual se disparó el proyectil, en este caso se lanzo desde una altura de $y_{0} = 20$ metros. Véalo como si el suelo se ubicará en $y = 0$

La aceleración de la gravedad para este problema es $g = 9,8$ metros por segundo cuadrado, esta es la aproximación que usa el problema.

Dese cuenta que en la segunda deducción hemos respondido la primera pregunta.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{Se dispar\'o desde una altura de 20 metros}}$

$\textbf{Pregunta}$

Cuál es la altura del proyectil a los 5 segundos.

RESOLUCIÓN

Según dato del problema la altura viene dada por la función $h_{(t)} = -4,9t^{2} + 147 t + 20$ por lo que, si queremos saber la altura para $t = 5$ es suficiente con sustituir y operar.

                          $h_{(5)} = -4,9(5^{2}) + 147 (5) + 20 = 632,5$        

Se obtiene que la altura para $t = 5$ es de 632,5 metros.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{Alcanza una altura de 632,5 metros}}$

$\textbf{Pregunta}$

Cuál es la altura máxima del proyectil.

RESOLUCIÓN

La altura máxima se llega cuando la velocidad del proyectil es nula, esto es más evidente si por ejemplo, tiene una manzana y la lanza hacia arriba, la rapidez de esta manzana ira disminuyendo con el paso del tiempo, hasta que se hace nula, luego de eso, la manzana descenderá. Entonces, si consideramos todo el recorrido desde que la manzana es lanzada hasta que su velocidad es nula, tendremos la altura máxima de la manzana, ya que, después de eso, la manzana desciende.

La ecuación de la velocidad final es.

                                           $\boxed{v_{f} = v_{o} - gt}$

Sustituyendo con los datos.

                                            $0 = 147 - 9,8t \\ \\ t = \dfrac{147}{9,8}\ \to\ t = 15$

La altura máxima se da a los 15 segundos, reemplazando

                          $h_{(15)} = -4,9(15^{2}) + 147 (15) + 20 = 1122,5$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La altura m\'axima es 1122,5 metros}}$

$\textbf{Pregunta}$

Cuánto tiempo debe pasar para que el proyectil este a una altura de 1000 metros.

RESOLUCIÓN

Análogo al segundo problema, para un $t = x$ se cumple $h(x) = 1000$

                          $h_{(x)} = -4,9(x^{2}) + 147 (x) + 20 = 1000$

Usando la fórmula general obtenemos las soluciones $x_{1} = 10$ y $x_{2} \approx 20$ Ambas son soluciones validas la primera solución $t=10$ es antes que el proyectil adquiera una velocidad nula, es decir, mientras asciende y la segunda es cuando desciende. Sin embargo, comúnmente solo nos interesa la altura que alcanza un proyectil cuando mientras asciende, por lo que, únicamente consideraremos solución $t = 10$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{Deben pasar 10 segundos}}$

$\textbf{Pregunta}$

A los cuantos segundos llega al suelo.

RESOLUCIÓN

Esta pregunta debe resolverse con mucho cuidado, recuerde que inicialmente consideramos que el proyectil se lanza desde una altura de $y_{0} = 20$ por lo que el suelo sería $y = 0$ con lo cual la posición final es $y_{f} = 0$ para un instante de tiempo $t=x$. Es decir, debemos resolver la ecuación $h_{(x)} = 0$

                      $h_{(x)} = -4,9(x^{2}) + 147 (x) + 20 = 0$

Usando el mismo método anterior se llegan a dos soluciones $x_{1} \approx -0,135$ y $x_{2} \approx 30,135$ Nos quedamos con la segunda solución debido a que carece de sentido un instante de tiempo negativo.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{Aproximadamente el proyectil llega al suelo a los 30,135 segundos}}$