Question

un proyectil está lanzado por un cañón con una velocidad inicial de 100 m/s con un ángulo de 45g con respecto de las horizontal calcular el tiempo de movimiento del proyectil hasta obtener su alcance maximo​

Answer 1

El tiempo de vuelo del proyectil de de 14.14 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

El movimiento del proyectil hasta obtener su alcance máximo está determinado por el tiempo de vuelo

Hallamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (100\ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (45^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{200\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{200\ \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 100\ \ . \ \frac{\sqrt{2} }{\not 2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 100\sqrt{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =10\sqrt{2} \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =14.14 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 14.14 segundos

Aunque el enunciado no lo pida

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(100 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (45^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{2} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{10000\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{2} }{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{10000\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{2}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{10000 \ . \ \frac{2}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{20000}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 5000 }{20\ } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =250\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 250 metros

Hallamos el alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (100 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 45 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{10000\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (90 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 90 grados es de }\bold{ 1 }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{10000 \ . \ \ 1 }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{10000 }{ 10 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =1000 \ metros }}$

El alcance máximo del proyectil es de 1000 metros

Obteniéndose con un ángulo de 45° el alcance máximo

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento