Question

Un proyctil se lanza con velocidad inicial vi= 54 ms formando un ángulo θ= 54º con la horizontal desde lo alto de una torre a una altura de 184 m, use para sus cálculos un valor de la gravedad de 9.8 ms2.
1. La componentes de la velocidad inicial en m/s son respectivamente
2.El tiempo de vuelo del proyctil en segundos es
3. La distancia máxima horizontal que alcanzó el curpo en metros es

Answer 1

1) Las velocidades horizontal y vertical del lanzamiento son respectivamente de 31.74 m/s y de 43.69 m/s

2) El tiempo de vuelo del proyectil es de 12.04 segundos

3) El alcance máximo horizontal del proyectil es de 382.15 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Solución:  

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

1) Hallamos las componentes horizontal y vertical para una

$\bold { V_{0} = \ 54\ \frac{m}{s} }$

Velocidad horizontal

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0x} = 54 \ \frac{m}{s} \ . \ cos \ 54^o }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0x} = 31.74\ \frac{m}{s} }}$

Velocidad vertical

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y  

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0y} =54\ \frac{m}{s} \ . \ sen \ 54^o }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0y} = 43.69 \ \frac{m}{s} }}$

Las velocidades horizontal y vertical del lanzamiento son respectivamente de 31.74 m/s y de 43.69 m/s

2) Determinamos el tiempo de vuelo del proyectil

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H + {V_{0y} \ . \ t \ +\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\large \textsf{Se toma como valor de gravedad por imposici\'on de enunciado} \ \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Donde consideramos que el proyectil fue lanzado desde una altura de 184 metros

Por tanto

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold { y =H+ {V_{0y} \ . \ t \ +\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\bold{y = 0}$

$\boxed {\bold { y = 184 \ m \ + 43.69 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\frac{9.8\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }{2} } }$

$\boxed {\bold { y = 184 \ m \ + 43.69 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -4.9\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { 0 = 184 \ m \ + 43.69 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -4.9\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { 184 \ m \ + 43.69 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -4.9\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} = 0 }}$

$\boxed {\bold { -4.9\ \frac{m}{s^{2} } . \ t^{2} +43.69 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ + \ 184 \ m = 0 }}$

$\large\textsf{Se tiene una ecuaci\'on cuadr\'atica }$

$\large\boxed {\bold { -4.9\ t^{2} +43.69 \ t \ + \ 184 \ = 0 }}$

$\textsf{Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de} \ \bold{a = -4.9, \ b =43.69 \ y \ c = 184 }$

$\large\textsf{Para resolver para t}$    

$\boxed{ \bold{t = \frac{-43.69 \pm \sqrt{ ( 43.69)^2 - 4\ . \ (-4.9 \ . \ 184) } }{2 \ . \ -4.9} }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-43.69 \pm \sqrt{ 1908.8161 - 4\ . \ (-901.6) } }{-9.8 } }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-43.69 \pm \sqrt{ 1908.8161 + 3606.4 } }{-9.8 } }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-43.69 \pm \sqrt{ 5515.2161 } }{-9.8 } }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-43.69 \ \pm\ 74.264500940893 }{-9.8 } }}$

$\boxed{ \bold{ t= 12.036173 , \ -3.119847 }}$

$\large\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\large\boxed{ \bold{ t= 12.04\ , \ -3.12 }}$

$\large\textsf {Se toma para t (tiempo) la soluci\'on positiva }$

$\large\boxed{ \bold{ t_{V} = 12.04 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 12.04 segundos

3) Hallamos el distancia máxima horizontal alcanzada por el proyectil

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial en X y la multiplicamos por el instante de tiempo hallado (tiempo de vuelo)

$\large\boxed {\bold {x_{MAX} =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold {x_{MAX} = 31.74\ \frac{m}{\not s}\ . \ 12.04 \not s }}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =382.1496\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{MAX} =382.15 \ metros }}$

El alcance horizontal $\bold{ x_{MAX} }$ del proyectil es de 382.15 metros siendo esta la distancia máxima alcanzada horizontalmente

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento