Question

Un proceso de mezclado combina tres componentes para crear una mezcla final de 60000 galones. Los tres componentes cuestan $2.00, $1.50 y $1.25 por galón, respectivamente. El costo total de los componentes debe ser igual a $90000. Otro requerimiento de la mezcla es que el número de galones usados del componente 1 debe ser el doble de la cantidad utilizada del componente 3. Determine si se puede producir al mes una combinación de los tres productos que lleve a una mezcla final de 60000 galones con un costo de $90000 y que satisfaga las restricciones de mezclado.

Answer 1

Tema: Planteamiento de sistemas de ecuaciones

⇒No hay una solución que satisfaga las restricciones.

Explicación paso a paso:

Comencemos por llamar a cada  componente con una variable para identificarlos más fácilmente:

$x= \text{componente 1 \ }2.00\\y= \text{componente 2 \ }1.50\\z= \text{componente 3 \ }1.25$

donde x,y,z representan el número de galones.

por una parte sabemos que:  "el costo total de los componentes debe ser igual a $90000", expresado matemáticamente:

$2x+1.5y+1.25z=90'000$       Ec.1

además: "el número de galones usados del componente 1 debe ser el doble de la cantidad utilizada del componente 3"

$x=2z$    Ec.2

y Finalmente:

"una combinación de los tres productos que lleve a una mezcla final de 60000"

$x+y+z=60'000$     Ec.3

Ahora que tenemos 3 ecuaciones podemos dar solución al problema.

Sustituimos ec.2 en ec.1 y ec.3

$2(2z)+1.5y+1.25z=90'000\\1.5y+5.25z=90'000$         Ec.1a

$(2z)+y+z=60'000\\y+3z=60'000$             Ec.3a

Ahora, solo resta dar solución a estas ecuaciones, yo lo haré por el método de igualación, para ello multiplicaré  la Ec. 3a por 1.5, de manera que queda:

$(1.5)(y+3z)=(60'000)(1.5)\\1.5y+4.5z=90'000$      Ec.3b

Ahora restaremos a la ec.1a la ec.3b:

$1.5y+5.25z=90'000\\-(1.5y+4.5z=90'000)\\\text{ --------------------------------}\\.75z=0 \therefore z=0$

Sustituyendo en ec. 3a el valor de z:

$y+3(0)=60'000\\y=60'000$

y de acuerdo a la ecuación 2:

$x=2(0) \therefore x=0$

Por lo tanto podemos decir que no hay una combinación que incluya los 3 componentes.