Question

Un problemas de derivadas...: Sea  f la funcion definida por f(x)=ax³+bx²+cx+d, a≠0. Encuentre las constantes reales a,b,c,y d sabiendo que la grafica de f satisface las siguientes condiciones: en el origen de coordenadas la recta tangente forma un angulo de π/3 con el semieje positivo de las x y admite recta paralela al eje x en los puntos de abscisas x=1 y x=-1.

Answer 1

Por pasar por el orígen de coordenadas, el valor de "x" es cero y el de "y" también. Reemplazamos estos valores en la función:

$f(x) = y=a x^{3}+b x^{2} +cx+d$ con x= 0 e y=0:
$0=a (0)^{3} +b (0)^{2} +c(0)+d$      -----> $d=0$

Ahora, la tangente es la pendiente de la curva en ese punto, y equivale a la derivada de la función:
$f'(x)=3a x^{2} +2bx+c$, en donde $f'(x)=m$

Como dice que en los puntos  de abscisas x=1 y x=-1 es una recta paralela al eje "x", esto quiere decir que es horizontal, la pendiente toma un valor de cero. En otras palabras:

$f'(x)=0$ para x=1 y también para x=-1

Reemplazamos dichos valores para ambos casos:

***** para x = 1:
$0=3a (1)^{2}+2b(1)+c$
$0=3a+2b+c$      Expresión 1.

***** para x = -1:
$0=3a (-1)^{2} +2b(-1)+c$
$0=3a-2b+c$       Expresión 2.

Al sumar ambas expresiones: Expresión 1 + Expresión 2, nos queda:
$0+0=3a+2b+c+3a-2b+c$
$0=6a+2c$    ---> Dividiendo esta ecuación para 2, nos queda:
$0=3a+c$        Expresión 3.

Ahora, sabiendo que $tan ( \frac{ \pi }{3} )= \sqrt{3}$ ; Ello quiere decir que, cuando la curva pasa por el orígen,  $x=0, m=f'(x)= \sqrt{3}$ donde $\sqrt{3}$ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el origen, entonces:
$\sqrt{3}=3a (0)^{2}+2b(0)+c$,
de donde: ------> $c= \sqrt{3}$

Reemplazando "c" en la Expresión 3, tenemos:
$0=3a+ \sqrt{3}$;  Despejando "a": ---->  $a=- \frac{ \sqrt{3} }{3}$

reemplazamos estos dos valores para hallar el valor de "b" en cualquiera de las dos expresiones (1 o 2):
Reemplazando en la expresión 1:

$0=3a+2b+c$
$0=3(- \frac{ \sqrt{3} }{3} )+2b+ \sqrt{3}$
$0=- \sqrt{3}+2b+ \sqrt{3}$; Despejando "b":  -----> $b=0$

En resumen:
$a=- \frac{ \sqrt{3} }{3}$
$b=0$
$c= \sqrt{3}$
$d=0$