Question

Un prisma de base cuadrada posee una altura igual a una vez y media el valor del lado de la base y su volumen es de 2592 cm³. ¿Cuál será la altura de un cilindro cuya base posee la misma superficie que la base del prisma e igual volumen?

Answer 1

HOLA...!!

PARTE 1 : Primero debemos hallar las medidas del prisma cuadrangular, para lo cual planteamos:

$\boldsymbol{x:}\ \text{El lado de la base.}$

Si  la altura mide 1  y 1/2 veces el valor del lado de la base, en consecuencia podemos expresarlo como:

$\boldsymbol{\dfrac{3x}{2}:}\ \text{Lo que mide la altura.}\\ \\\textbf{Volumen}=2592\ cm^3$

RESOLVIENDO: Vamos a utilizar la fórmula del volumen de un prisma cuadrangular  $\boldsymbol{V=(lado)^2\times{(altura)}}$, y reemplazamos con los datos de problema:

$x^2\left(\dfrac{3x}{2}\right)=2592\quad\to\textbf{El 2 pasa a multiplicar.}\\ \\x^2(3x)=2(2592)\\ \\3x^3=5184\\ \\x^3=\dfrac{5184}{3}\\ \\x^3=1728\\ \\x=\sqrt{1728}\\ \\x=12\ cm.\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{El lado de la base.}\ \checkmark}$

Si el lado de la base del prisma mide 12 cm, entonces su superficie podrá encontrarse con la fórmula:  $\boldsymbol{S=(lado)^2}$ :

$S=(12)^2\\S=144\ \ cm^2\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Superficie de la base del prisma.}\ \checkmark}$

Ahora, para hallar la altura despejamos  $\boldsymbol{\frac{3x}{2} }$ :

$\dfrac{3(12)}{2}=\dfrac{36}{2}=18\ cm.\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Lo que mide la altura.}\ \checkmark}$

PARTE 2 : Nos piden hallar la altura de un cilindro con la misma superficie de la base y volumen del prisma, entonces planteas:

$\textbf{Altura}=\ ?\\\textbf{Superficie de la base}=144\ cm^2\\\textbf{Volumen}=2592\ cm^3$

RESOLVIENDO: Primero calculamos el radio de la base cilíndrica con la fórmula  $\boldsymbol{r=\sqrt{\frac{\textbf{Superficie de la base}}{\pi}}}$ :

$r=\sqrt{\dfrac{144}{\pi}}\\ \\ \\r=\dfrac{12}{\sqrt{\pi}}\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{El radio de la base cil\'indrica.}\ \checkmark}$

Ahora, para encontrar la altura del cilindro utilizamos la siguiente fórmula, y reemplazamos con los datos del problema:

$\boldsymbol{Altura=\dfrac{volumen}{r^2\times{\pi}}}\\ \\ \\Altura=\dfrac{2592}{\left(\dfrac{12}{\sqrt{\pi} }\right)^2\times{\pi}}\\ \\ \\Altura=\dfrac{2592}{\dfrac{144}{\pi}\times{\pi}}\\ \\ \\Altura=\dfrac{2592}{\dfrac{144}{\not{\pi}}\times{\not{\pi}}}\quad\to\textbf{Eliminas}\ \boldsymbol{\pi}\\ \\ \\Altura=\dfrac{2592}{144}\\ \\Altura=18\ cm.\quad\Longrightarrow\boxed{\boxed{\mathbb{RESPUESTA}\ \checkmark}}\\ \\ \\\textbf{MUCHA SUERTE...!!}$