Question

Un prado rectangular de un jardín ha de tener 72 m2 de área debe rodearse de un sendero peatonal de 2m por los lados y 3m de ancho en las extremidades. si el área total del prado y del sendero es mínima ¿cuáles son las dimensiones del terreno !

Answer 1

   
     Datos :

        Área rectangular del prado ( A prado )= 72 m²

       Sendero = 2 m por los lados y  3 m de ancho    

       Área total del prado y sendero ( At )  es mínima 

       Cuales son las dimensiones del terreno ( L , a ) =?

              Solución :


                   A prado = L * a = 72 m²


                  A  total de prado y sendero ( At ) :


                  At = ( L + 3m + 3m ) * ( a + 2m + 2m )
 

                  At =  ( L + 6 m ) * ( a + 4 m )


                  At = L * a + 4m * L + 6m * a + 24 m²


                  At =  72 m² + 4m * L + 6m * a + 24 m²


                  A t = 96 m² + 4m * L + 6m * a 



                  Como         L * a = 72 m²


                          despejando a  :


                                          a = 72 m² / L


                      Sustituyendo   a     en la formula de At :


 
                        At = 96 m² + 4m * L + 6m * ( 72 m² / L ) 


                       At =  96 m² + 4m * L + 432 m³ / L


                       At = 96 + 4L + 432/ L


                        Se deriva  el área total respecto a L :


                       At' = 0 + 4 * L' + ( - 432 * L' / L² )


                      At =  4 - (  432 / L²) 


                          se iguala a cero 

                       At ' = 0


                            4 - ( 432 / L² ) = 0


                                             4 = 432 / L²


                                             L² = 432 / 4 = 108


                                             L = √ 108 


                                             L =  6√3 m   
        

                                              a = 72 m² / 6√3 m


                                              a = 12 / √3  m


                                              a = 12 / √3 * √3 / √3 = 12 √3 / ( √3  )²


                                              a = 12 √3 / 3 m


                                              a = 4√3  m.


                  At = 96 m² + 4m * L + 6m * a


                  At = 96 m² + 4m * 6√3 m + 6 m * 4√3 m


                 At = (  96  + 48√3 ) m² es el área mínima del prado y sendero.


          Las dimensiones del terreno son  L = 6√3 m y a = 4√3 m 

          para que el área total sendero y parado sea mínima.    

                                                                        
                      
              

                                  

        

        

   

    

Answer 2

Respuesta: Realmente este problema es mas complejo de lo que parece

Si no mal recuerdo, la respuesta es medidas del prado (Lado mas largo "y" = 12.2459) y (lado mas corto "x" = 5.8795)

Entonces (x) (y) = 72m2

Seria lo mismo que decir

(12.2459) (5.8795)= 72m2

Explicación:

En el final de la "Captura 3" dice que puedes utilizar la Ley de Newton-Raphson, pero en realidad puedes usar otros procedimientos "iterativos"

Como el metodo de bisección mostrado en la "Captura 4"

Una vez que tenemos el valor de nuestra "y" solo tendriamos que despejar la ecuación principal

(x) (y) = 72m2

x=72/12.2459

x=5.7895

Y después de todo esto las medidas y el area total, considerando el prado y el sendero serian;

x=7.7895

y=16.2459

AT=128.009875 m2